При больших значениях 𝑛𝑒 мы можем пренебречь спонтанными переходами по сравнению с переходами под действием столкновений. Легко видеть, что в этом случае, как и следовало ожидать, получается больцмановское распределение атомов по состояниям. Например, из формулы (25.13) при использовании соотношения (25.6) находим
𝑛₂
=
𝑛₁
(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+𝑎₃₂𝑏₁₃
(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑎₂₁+𝑎₃₁𝑏₂₃
=
𝑛₁
𝑔₂
𝑔₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν₁₂
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.15)
При малых значениях 𝑛𝑒 мы можем пренебречь всеми переходами из возбуждённых состояний под действием столкновений по сравнению со спонтанными переходами. В данном случае формулы (25.13) и (25.14) принимают вид
𝑛₂
=
𝑛₁
𝐴₂₁
⎛
⎜
⎝
𝑏₁₂
+
𝐴₃₂
𝐴₃₁+𝐴₃₂
𝑏₁₃
⎞
⎟
⎠
,
(25.16)
𝑛₃
=
𝑛₁𝑏₁₃
𝐴₃₁+𝐴₃₂
(25.17)
В газовых туманностях (за некоторыми исключениями) осуществляется второй из рассмотренных случаев, т.е. населённости метастабильных состояний определяются формулами (25.16) и (25.17).
При помощи полученных выражений для населённостей уровней мы можем определить интенсивности запрещённых линий. Найдём, например, отношение интенсивностей линий, возникающих при переходах 2→1 и 3→2. Пользуясь формулами (25.13) и (25.14), получаем
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
𝑛₂𝐴₂₁ν₁₂
𝑛₃𝐴₃₂ν₃₂
=
ν₁₂𝐴₂₁
ν₂₃𝐴₃₂
×
×
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃
𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃
.
(25.18)
При больших концентрациях свободных электронов из этой формулы следует
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
ν₁₂𝐴₂₁
ν₂₃𝐴₃₂
𝑔₂
𝑔₃
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν₂₃
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.19)
При малых значениях 𝑛𝑒 формула (25.18) даёт
𝐸₂₁
𝐸₃₂
=
ν₁₂
ν₂₃
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝐴₃₁
𝐴₃₂
+1
⎞
⎟
⎠
𝑏₁₂
𝑏₁₃
+1
⎤
⎥
⎦
.
(25.20)
Найденные формулы для интенсивностей запрещённых линий будут применены в дальнейшем не только к газовым туманностям, но и к оболочкам новых звёзд.
Как уже говорилось, при малых значениях 𝑛𝑒 (и вместе с тем при малых значениях 𝑊) происходит сильное накопление атомов в метастабильных состояниях. Это хорошо видно из формул (25.16) и (25.17), согласно которым населённость возбуждённого уровня тем больше, чем меньше вероятности спонтанных переходов из него. Если бы мы считали переход из второго состояния вниз запрещённым, а переходы из третьего состояния разрешёнными, то число атомов во втором состоянии было бы гораздо больше, чем в третьем. Иными словами, населённость метастабильного уровня значительно превосходит населённость обычного уровня. Что же касается интенсивности запрещённой линии, то, как видно из формулы (25.20), она примерно такого же порядка, что и интенсивность разрешённой линии.
4. Электронные температуры и концентрации.
Интенсивность запрещённой линии какого-либо атома в спектре туманности зависит от количества этих атомов, от концентрации свободных электронов и от температуры электронного газа. Поэтому по наблюдённым интенсивностям запрещённых линий в спектре туманности можно определять значения указанных величин.
Для определения электронной температуры туманности широко используется способ, основанный на измерении относительных интенсивностей запрещённых линий иона 𝙾 III. Этот ион обладает двумя метастабильными состояниями, при переходах из которых возникают линии λ 4363 Å и 𝙽₁+𝙽₂ (см. рис. 32). Возбуждение упомянутых состояний производится электронным ударом. Так как для возбуждения свечения в линии λ 4363 Å электрон должен обладать большей энергией, чем для возбуждения свечения в линиях 𝙽₁ и 𝙽₂, то отношение интенсивностей этих линий (т.е. величина 𝐸λ₄₃₆₃/𝐸𝙽₁+𝙽₂) должно увеличиваться с ростом 𝑇𝑒.
Полученные выше формулы для населённостей метастабильных состояний и для интенсивностей запрещённых линий можно непосредственно применить к иону 𝙾 III. Назовём три нижних состояния этого иона (основное и два метастабильных) состояниями 1, 2 и 3. Если считать, что концентрация свободных электронов в туманности мала, то отношение интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å будет определяться формулой (25.20).
Перейдём здесь от величин 𝑏𝑖𝑗 к величинам 𝑎𝑗𝑖 при помощи соотношения (25.6). Это позволит нам в явном виде выразить зависимость отношения интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å от температуры, так как величины 𝑎𝑗𝑖 от 𝑇𝑒 почти не зависят. Выполнив указанный переход, находим
𝐸𝙽₁+𝙽₂
𝐸λ₄₃₆₃
=
ν₁₂
ν₃₂
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝐴₃₁
𝐴₃₂
+1
⎞
⎟
⎠
𝑔₂𝑎₂₁
𝑔₃𝑎₃₁
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν₂₃
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(25.21)
Формула (25.21) была впервые получена В. А. Амбарцумяном [6]. Так как тогда не были известны эффективные сечения для столкновений, то он принял 𝑔₂𝑎₂₁/𝑔₃𝑎₃₁≈1. Теперь на основании формулы (25.11) и табл. 37 получаем 𝑔₂𝑎₂₁/𝑔₃𝑎₃₁=Ω(1,2)/Ω(1,3)=8,9. Учитывая также, что в данном случае 𝐴₃₁/𝐴₃₂=0,14, вместо (25.21) имеем
𝐸𝙽₁+𝙽₂
𝐸λ₄₃₆₃
=
8,74
exp
⎛
⎜
⎝
33000
𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.22)
Эта формула и даёт возможность определять 𝑇𝑒 по получаемому из наблюдений отношению интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å.
Изложенный метод определения электронных температур туманностей был использован в работах Мензела с сотрудниками [9]. Для большого числа туманностей они получили значения 𝑇𝑒 в интервале от 7000 до 25 000 K. Эти значения мало отличаются от тех, которые были найдены путём рассмотрения энергетического баланса свободных электронов (см. § 23).