Рассмотрим переходы атома между состояниями 𝑖 и 𝑗 под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см³ за 1 с мы обозначим через 𝑛𝑖𝑏𝑖𝑗. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния 𝑖 в верхнее состояние 𝑗 за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см³ за 1 с обозначим через 𝑛𝑖𝑎𝑗𝑖. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.
Величины 𝑏𝑖𝑗 и 𝑎𝑗𝑖 характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем
𝑛
𝑖
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑛
𝑗
𝑎
𝑗𝑖
.
(25.5)
Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑎
𝑗𝑖
𝑔𝑗
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(25.6)
Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре 𝑇.
Величина 𝑎𝑗𝑖 очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина 𝑏𝑖𝑗 зависит от температуры очень сильно, причём 𝑏𝑖𝑗 тем больше, чем больше 𝑇. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость 𝑏𝑖𝑗 от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.
Величины 𝑎𝑗𝑖 и 𝑏𝑖𝑗 выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть σ𝑖𝑗(𝑣) — эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью 𝑣 и 𝑛𝑒𝑓(𝑣)𝑑𝑣 — число электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 в 1 см³. Мы, очевидно, имеем
𝑏
𝑖𝑗
=
𝑛
𝑒
∞
∫
𝑣₀
σ
𝑖𝑗
(𝑣)
𝑣𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
,
(25.7)
где 𝑚𝑣₀²=ℎν𝑖𝑗 Для величины 𝑎𝑗𝑖 аналогично получаем
𝑎
𝑗𝑖
=
𝑛
𝑒
∞
∫
0
σ
𝑗𝑖
(𝑣)
𝑣𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
.
(25.8)
На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину σ𝑖𝑗(𝑣) можно представить в виде
σ
𝑖𝑗
(𝑣)
=
ℎ²
4π𝑚²
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖𝑣²
,
(25.9)
где Ω(𝑖,𝑗) — безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина σ𝑗𝑖(𝑣) даётся аналогичной формулой с заменой 𝑔𝑖 на 𝑔𝑗.
Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции 𝑓(𝑣), получаем
𝑎
𝑗𝑖
=
𝑛
𝑒
ℎ²
4π𝑚²
⎛
⎜
⎝
𝑚
2π𝑘𝑇𝑒
⎞½
⎟
⎠
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
=
=
8,54⋅10⁻⁶
𝑛𝑒
√𝑇𝑒
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑖
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν𝑖𝑗
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(25.10)
Для величины 𝑎𝑗𝑖 находим
𝑎
𝑗𝑖
=
8,54⋅10⁻⁶
𝑛𝑒
√𝑇𝑒
Ω(𝑖,𝑗)
𝑔𝑗
(25.11)
Значения величины Ω(𝑖,𝑗) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.
Таблица 37
Эффективные поперечные сечения
для столкновений
Конфигу-
рация
Ион
Ω
(1,2)
Ω
(1,3)
Ω
(2,3)
2𝑝²
𝙽
II
2,39
0,223
0,46
𝙾
III
1,73
0,195
0,61
𝙵
IV
(1,21)
(0,172)
(0,58)
𝙽𝚎
V
(0,84)
(0,157)
0,53
2𝑝³
𝙾
II
1,44
0,218
1,92
𝙵
III
(1,00)
(0,221)
(3,11)
𝙽𝚎
IV
(0,68)
(0,234)
(3,51)
𝙽𝚊
V
0,43
(0,255)
(3,49)
2𝑝⁴
𝙵
II
(0,95)
(0,057)
0,17
𝙽𝚎
III
0,76
0,077
0,27
𝙽𝚊
IV
(0,61)
(0,092)
(0,30)
𝙼𝚐
V
0,54
(0,112)
(0,30)
Вычисленные значения величия Ω(𝑖,𝑗) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) — не более чем вдвое.
3. Интенсивности запрещённых линий.
Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.
Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.
Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:
𝑛₂
(
𝐴₂₁
+
𝑎₂₁
+
𝑏₂₃
)=
𝑛₁
𝑏₁₂
(
𝐴₃₂
+
𝑎₃₂
),
⎫
⎬
⎭
𝑛₃
(
𝐴₃₁
+
𝐴₃₂
+
𝑎₃₁
+
𝑎₃₂
)=
𝑛₁
𝑏₁₃
+
𝑛₂
𝑏₂₃
.
(25.12)
Решая эти уравнения относительно величин 𝑛₂ и 𝑛₃, находим
𝑛₂
=
𝑛₁
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃
,
(25.13)
𝑛₃
=
𝑛₁
𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃
(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃
.
(25.14)
Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов 𝑛𝑒 от которых зависят величины 𝑎𝑗𝑖 и 𝑏𝑖𝑗. В двух предельных случаях — при больших и малых значениях 𝑛𝑒 — эти формулы существенно упрощаются.