Курс теоретической астрофизики

Рассмотрим переходы атома между состояниями 𝑖 и 𝑗 под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см³ за 1 с мы обозначим через 𝑛_𝑖𝑏_𝑖𝑗. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния 𝑖 в верхнее состояние 𝑗 за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см³ за 1 с обозначим через 𝑛_𝑖𝑎_𝑗𝑖. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.

Величины 𝑏_𝑖𝑗 и 𝑎_𝑗𝑖 характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем

𝑛

_𝑖

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑛

_𝑗

𝑎

_𝑗𝑖

.

(25.5)

Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑎

_𝑗𝑖

𝑔_𝑗

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(25.6)

Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре 𝑇.

Величина 𝑎_𝑗𝑖 очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина 𝑏_𝑖𝑗 зависит от температуры очень сильно, причём 𝑏_𝑖𝑗 тем больше, чем больше 𝑇. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость 𝑏_𝑖𝑗 от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.

Величины 𝑎_𝑗𝑖 и 𝑏_𝑖𝑗 выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть σ_𝑖𝑗(𝑣) — эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью 𝑣 и 𝑛_𝑒𝑓(𝑣)𝑑𝑣 — число электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 в 1 см³. Мы, очевидно, имеем

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑛

_𝑒

∞

∫

𝑣₀

σ

_𝑖𝑗

(𝑣)

𝑣𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

,

(25.7)

где 𝑚𝑣₀²=ℎν_𝑖𝑗 Для величины 𝑎_𝑗𝑖 аналогично получаем

𝑎

_𝑗𝑖

=

𝑛

_𝑒

∞

∫

0

σ

_𝑗𝑖

(𝑣)

𝑣𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

.

(25.8)

На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину σ_𝑖𝑗(𝑣) можно представить в виде

σ

_𝑖𝑗

(𝑣)

=

ℎ²

4π𝑚²

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖𝑣²

,

(25.9)

где Ω(𝑖,𝑗) — безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина σ_𝑗𝑖(𝑣) даётся аналогичной формулой с заменой 𝑔_𝑖 на 𝑔_𝑗.

Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции 𝑓(𝑣), получаем

𝑎

_𝑗𝑖

=

𝑛

_𝑒

ℎ²

4π𝑚²

⎛

⎜

⎝

𝑚

2π𝑘𝑇_𝑒

⎞½

⎟

⎠

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

=

=

8,54⋅10⁻⁶

𝑛_𝑒

√𝑇_𝑒

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(25.10)

Для величины 𝑎_𝑗𝑖 находим

𝑎

_𝑗𝑖

=

8,54⋅10⁻⁶

𝑛_𝑒

√𝑇_𝑒

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑗

(25.11)

Значения величины Ω(𝑖,𝑗) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.

Таблица 37

Эффективные поперечные сечения

для столкновений

Конфигу-

рация

Ион

Ω

(1,2)

Ω

(1,3)

Ω

(2,3)

2𝑝²

𝙽

II

2,39

0,223

0,46

𝙾

III

1,73

0,195

0,61

𝙵

IV

(1,21)

(0,172)

(0,58)

𝙽𝚎

V

(0,84)

(0,157)

0,53

2𝑝³

𝙾

II

1,44

0,218

1,92

𝙵

III

(1,00)

(0,221)

(3,11)

𝙽𝚎

IV

(0,68)

(0,234)

(3,51)

𝙽𝚊

V

0,43

(0,255)

(3,49)

2𝑝⁴

𝙵

II

(0,95)

(0,057)

0,17

𝙽𝚎

III

0,76

0,077

0,27

𝙽𝚊

IV

(0,61)

(0,092)

(0,30)

𝙼𝚐

V

0,54

(0,112)

(0,30)

Вычисленные значения величия Ω(𝑖,𝑗) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) — не более чем вдвое.

3. Интенсивности запрещённых линий.

Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.

Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.

Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:

𝑛₂

(

𝐴₂₁

+

𝑎₂₁

+

𝑏₂₃

)=

𝑛₁

𝑏₁₂

(

𝐴₃₂

+

𝑎₃₂

),

⎫

⎬

⎭

𝑛₃

(

𝐴₃₁

+

𝐴₃₂

+

𝑎₃₁

+

𝑎₃₂

)=

𝑛₁

𝑏₁₃

+

𝑛₂

𝑏₂₃

.

(25.12)

Решая эти уравнения относительно величин 𝑛₂ и 𝑛₃, находим

𝑛₂

=

𝑛₁

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃

,

(25.13)

𝑛₃

=

𝑛₁

𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃

.

(25.14)

Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов 𝑛_𝑒 от которых зависят величины 𝑎_𝑗𝑖 и 𝑏_𝑖𝑗. В двух предельных случаях — при больших и малых значениях 𝑛_𝑒 — эти формулы существенно упрощаются.