Курс теоретической астрофизики

Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.

Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим

I

-

I

=

F

,

(2.18)

где F — произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем

I

+

I

=

2F

+

C

,

(2.19)

где C — новая постоянная.

Для определения постоянных F и C обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что I(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину I(0) и пользуясь этим условием, имеем

C

=

F

.

(2.20)

Что касается постоянной F, то она выражается через полный поток излучения H, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен

H

=

2

0

I(,)

cos

sin

d

.

(2.21)

В принятом приближении

H

=2

1

2

/2

0

I(,)

sin

d

-

1

2

/2

I(,)

sin

d

=

=

[

I

-

I

].

(2.22)

Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем

H

=

F

.

(2.23)

Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:

S

=

F

+

1

2

.

(2.24)

Другая искомая функция I(,) легко выражается через S при помощи первого из уравнений (2.9).

Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2 cos sin d и проинтегрируем от 0 до . Пользуясь формулой (2.21), получаем

2

d

d

0

I(,)

cos^2

sin

d

=

H

.

(2.25)

Вынесем за знак интеграла среднее значение cos^2 на сфере, равное ^1/ т.е. приближённо положим

0

I(,)

cos^2

sin

d

=

1

3

0

I(,)

sin

d

.

(2.26)

Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим

4

3

dS

d

=

H

.

(2.27)

Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует

S

=

3

4

H

+

C

,

(2.28)

где C — произвольная постоянная.

Для нахождения C напишем выражение для величин S и H при =0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

S(0)

=

1

2

0

I(0,)

sin

d

,

(2.29)

а также приближённо

H

=

0

I(0,)

sin

d

.

(2.30)

Поэтому имеем

S(0)

=

H

2

.

(2.31)

При условии (2.31) для постоянной C получаем

C

=

H

2

.

(2.32)

Подстановка (2.32) в (2.28) даёт

S

=

F

3

4

+

1

2

,

(2.33)

где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).

Мы видим, что выражение (2.33) для функции S не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.

3. Применение квадратурных формул.

Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cos, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.

Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).

Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:

dI(,)

d

=

I(,)

-

1

2

+1

-1

I(,')

d'

,

(2.34)

где обозначено =cos.

Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:

+1

-1

I(,)

d

=

n

j=-n

a

_j

I(,

_j

)

.

(2.35)

Здесь _-n,…,_-1,₁,…_n суть корни полинома Лежандра P_2n и a_j — некоторые весовые множители (a_-j=a_j). Представление (2.35) тем точнее, чем больше n

В n-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2n:

_i

dI_i

d

=

I

_i

-

1

2

j

a

_j

I

_j

(i

=

±1,

±2,

…,

±n

),

(2.36)

где для краткости I(,) обозначено через I_i.

Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. I_-i=0 при =0 (i=1,2, ,n); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с , 3) задан поток излучения H=F.

После нахождения величин I_i из уравнений (2.36) основная искомая функция S определяется по формуле

S

=

1

2

a

_j

I

_j

.

(2.37)

Найдём в виде примера функцию S в первом приближении. В данном случае ₁=-_-1=1/3, a₁=a_-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем

1

3

dI₁

d

=

I

₁

-

1

2

(

I

₁

+

I

_-1

),

-

1

3

dI_-1

d

=

I

_-1

-

1

2

(

I

₁

+

I

_-1

).

(2.38)

Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что I_-1=0 при =0 и

2

3

(

I

₁

+

I

_-1

)=

F

.

(2.39)

Находя I₁ и I_-1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции S получаем

S

=

3

4

F

+

1

3

.

(2.40)

Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции S оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для S.

4. Интегральное уравнение Милна.