Курс теоретической астрофизики

где r — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде =nk, где n — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см^3 и k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что k не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем

t

=

k

N

,

(10.17)

где

N

=

r

n(r)

dr

.

(10.18)

Величина N есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см^2 над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим

r

=

1

1+kN

.

(10.19)

Если бы для решения системы уравнений (10.5) мы использовали второй приближённый метод (т.е. метод Эддингтона), то получили бы следующее выражение для величины r:

r

=

1

.

1

+

3

k

N

4

(10.20)

Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).

2. Модель Эддингтона.

Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.

Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.

Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде

cos 

dI

dr

=-

(

+

)

I

+

+

B

(T)

.

(10.21)

Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины I:

cos 

dI

dr

=-

(

+

)

I

+

I

d

4

+

B

(T)

.

(10.22)

Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре посредством соотношения d=-dr, вместо (10.22) находим

cos 

dI

d

=-

(

+1)

I

-

d

4

-

B

(T)

,

(10.23)

где обозначено

=

.

(10.24)

Вообще говоря, величина является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что =const.

Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:

I

=

I

d

4

,

H

=

I

cos 

d

4

.

(10.25)

Величина I представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4H — поток излучения.

Умножив (10.23) сначала на d/4, а затем на cos  d/4, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим

dH

d

=

I

-

B

,

(10.26)

1

3

dI

d

=

(1+

)

H

.

(10.27)

Здесь мы использовали приближённое соотношение

I

cos^2

d

4

=

1

3

I

.

(10.28)

Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения I:

d^2I

d^2

=

3(1+

)

(

I

-

B

).

(10.29)

Для величины B(T), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от . В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно B(T). В качестве общего же решения этого уравнения находим

I

=

C

exp

-

3(1+

)

+

+

D

exp

3(1+

)

+

B

,

(10.30)

где C и D — произвольные постоянные.

Очевидно, что в глубоких слоях атмосферы, где линии в спектре отсутствуют, I=C. Поэтому должно быть D=0. Следовательно, имеем

I

=

C

exp

-

3(1+

)

+

B

(T)

(1+

)

,

(10.31)

где обозначено =/. При помощи (10.27) получаем

H

=

1

3(1+)

-

C

exp

-

3(1+

)

x

x

3(1+

)

+

B

(T)

.

(10.32)

Для определения постоянной C надо использовать граничное условие (10.6). В принятом приближении его можно записать в виде

I

=

2

H

(при

=0

)

.

(10.33)

Подставляя (10.31) и (10.32) в (10.33), находим

C

3(1+

)

=-

3(1+)-2

3(1+)+2

B

(T)

.

(10.34)

Так как нашей задачей является определение профиля линии поглощения в спектре звезды, то нам надо найти поток выходящего из звезды излучения, т.е. величину H(0)=4H(0). Полагая в формуле (10.32) =0 и принимая во внимание (10.34), получаем.

1

+

H

(0)

=

4

B

(T)

3(1+

)

.

3(1+

)

+2

(10.35)

Вне спектральной линии =0. Следовательно, поток излучения в непрерывном спектре вблизи линии равен

1

+

H

(0)

=

4

B

(T)

3

.

3

+2

(10.36)

Из (10.35) и (10.36) находим

r

=

H(0)

H(0)

=

1 +

3(1+)

1 +

3

•

3+2

3(1+)+2

.

(10.37)

Этой формулой и определяется искомый профиль линии поглощения в звёздном спектре.

Заметим, что в центральных частях сильных линий >>1. Поэтому в данном случае имеем

r

3+2

3+

·

1

.

(10.38)

Мы видим, что величина r зависит от только через посредство потока в непрерывном спектре. Поток же в центральных частях линии от практически не зависит. Это объясняется тем, что центральные части сильных линий образуются в самых поверхностных слоях атмосферы [где можно считать, что B(T)=B(T)].

Во внешних частях линии 1. В этом случае формула (10.37) даёт

r

=

1

-

2

3+

+

3

3+2

.

(10.39)