Курс теоретической астрофизики

а C — произвольная постоянная. Постоянная при exp(b) равна нулю, так как I не может с увеличением возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим

H

=

1

3(1+)

-b

C

exp

-

b

+

+

1+Q

1+

B

(T)

(10.50)

Определяя постоянную C из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:

H

(0)

=

4

B

(T)

1+Q

1+

b+

3(1+)+2b

.

(10.51)

Отсюда вытекает, что

r

=

1+Q

•

b

+

•

3

+2

.

1+

1

+

3(1+

)+2b

3

(10.52)

Полученная формула для r является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.

Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину . Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина представляется в виде

=

B

B+A

.

(10.53)

В этой формуле

B

=

c

k

₂

d

h

,

(10.54)

где — частота ионизации из второго состояния, k₂ — коэффициент поглощения за границей второй серии.

Для грубой оценки величины можно поступить так. Будем считать, что величина B действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя и A в виде

=

,

exp

h

-1

kT

(10.55)

A

=

g

g

B

(10.56)

где

_ik

=

8h_i^3k

c^3

,

(10.57)

и принимая приближённо gg, , BB, получаем

exp

-

h

kT

.

(10.58)

Оценка величины по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт 10^3. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (=0,0015 для линий D и D натрия и =0,0004 для линии  4227 Са I).

Формулу (10.52) для r и сделанные оценки величины мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.

4. Точное решение задачи.

Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.

Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде

cos 

dI

dt

=

I

-

S

,

(10.59)

где dt=-(+) dr и

S

=

(1-)

1+

I

d

4

+

1+Q

1+

B

(T)

.

(10.60)

Функцию B(T), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от к t, имеем

B

(T)

=

B

(T)

1+

1+

(10.61)

где

=

.

Решая уравнение (10.59) относительно I и подставляя найденное выражение I через S в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции S(t):

S

(t

)

=

2

0

E|t

-t

'|

S

(t

')

dt

'

+

+

1+Q

1+

B

(T)

,

(10.62)

где обозначено

=

(1-)

1+

.

(10.63)

Перепишем уравнение (10.62) в виде

S(t)

=

2

0

E|t-t'|

S(t')

dt'

+

g(t)

,

(10.64)

опуская для простоты на время индекс . Свободный член этого уравнения является линейной функцией от t т.е.

g(t)

=

c

+

ct

.

(10.65)

Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить

K(t)

=

2

Et

=

2

1

e

^-tx

dx

x

,

(10.66)

то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра K(t) в форме (3.17) имеем A(x)=/2x.

Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции S(0,x) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая x=1/ и S(0,x)=, вместо (3.20) имеем

=

1+

2

1

0

(')

+'

d'

.

(10.67)

При =1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).

Функция , впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 — значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].

Таблица 11

Значения функции

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,00

1,06

1,09

1,14

1,15

1,17

1,18

1,20

1,21

1,25

0,2

1,00

1,09

1,15

1,23

1,26

1,29

1,31

1,34

1,37

1,45

0,3

1,00

1,11

1,19

1,30

1,34

1,39

1,42

1,46

1,51

1,64

0,4

1,00

1,13

1,22

1,36

1,41

1,48

1,52

1,57

1,64

1,83

0,5

1,00

1,14

1,25

1,41

1,48

1,56

1,61

1,67

1,76

2,01

0,6

1,00

1,15

1,27

1,46

1,53

1,63

1,69

1,77

1,88

2,19

0,7

1,00

1,16

1,29

1,50

1,58

1,69

1,76

1,85

1,98

2,37

0,8

1,00

1,17

1,31

1,54

1,63

1,75

1,83

1,93

2,08

2,55

0,9

1,00

1,18

1,32

1,57

1,67

1,81

1,89

2,01

2,18

2,73

1,0

1,00

1,18

1,34

1,60

1,71

1,85

1,95

2,08

2,27

2,91

Таблица 12

Значения моментов функции

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

1,00

1,13

1,23

1,38

1,44

1,52

1,57

1,63

1,73

2,00

0,50

0,58

0,64

0,74

0,77

0,83

0,86

0,90

0,96

1,15

0,33

0,39

0,43

0,50

0,53

0,57

0,59

0,63

0,67

0,82

Функция S(t) являющаяся решением уравнения (10.64), может быть выражена через функцию . Однако нас сейчас интересуют лишь профили линий поглощения. Поэтому мы должны найти только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величину I(0,). Как мы знаем, величина I(0,) также выражается непосредственно через функцию .