Хаос и структура

b) Во–вторых, предложенная выше диалектическая пентада (которую легко превратить в эннеаду и декаду) должна явиться для нас тем, что уже реально вскрывает самую идею числа и конструирует все его основные конститутивные моменты. Выведение этих конститутивных моментов числа вплотную подводит нас к анализу первичных основоположений числа, составляющих переход уже к анализу отдельных видов и типов числа. То, что мы сделали до сих пор, есть анализ основных категорий, из которых логически построяется идея числа. Это и есть в числе самое основное. Но, владея таким результатом, мы можем задаться вопросом о том, как функционируют эти категории на фоне общей идеи числа.

До сих пор мы дедуцировали не столько структуру числа, сколько самое число, продуцируя категории, как они появляются в общем диалектическом процессе, независимо даже от поставленной нами цели — дать диалектику данного числа. Можно сказать, что до сих пор наше исследование велось так, что мы как бы забывали, что такое число, и просто занимались общей диалектикой. И в общем диалектическом процессе мы вдруг перекинулись на категорию числа, которую и вывели наряду с прочими категориями. Теперь же нам предстоит другая задача. Уже имея диалектически сконструированную идею числа, мы должны рассмотреть внутри этой идеи функционирование каждой из выведенных нами категорий, понять каждую такую категорию как реальное определение идеи числа. Это приводит нас к дедукции ряда основных суждений, которые и должны демонстрировать впервые зарождающуюся здесь науку о числе, ибо наука невозможна не только без категорий, но она невозможна и без суждений. Суждения (а также и необходимо вытекающие из них умозаключения) есть не что иное, как реальное приложение и функционирование самих же категорий. А основные, конститутивные категории числа должны привести к дедукции также и основных, конститутивных суждений о числе. И если бы мы это сделали, мы тем самым наметили бы и дали бы в некотором предварительном, но тем не менее систематическом очерке науку о числе в ее самом основном и самом первоначальном виде. И это сразу же математически конкретизировало бы все наши предыдущие дедукции, весьма отягощенные принципами общей диалектики и ориентированные только на голую идею числа, а не на логически–магематичес–кую структуру.

Это и значит, что мы должны перейти сейчас к математической аксиоматике, к диалектической дедукции основных аксиом числа вообще.

III. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА (ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ)

А) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ § 32. Обычные предрассудки.

Приступая к анализу основных аксиом числа, нельзя не упомянуть о главнейших предрассудках, до последнего времени господствующих в этой области. Их очень много, и мало–мальски обстоятельная критика их заняла бы слишком много места. Но наше сочинение не преследует ни исторических, ни полемических целей, и потому соответствующие указания могут быть только самыми краткими. Главным образом бросаются в глаза два обстоятельства, характерные почти для всех систем математической аксиоматики.

Во–первых, аксиоматика чаще всего преследует цели не чисто математические и даже не чисто логические. С аксиоматикой часто связывают, напр., гносеологические, если не прямо метафизические, цели и точки зрения. Одни стараются доказать, что наши аксиомы чисто опытного происхождения; другие уверяют, что их наличие, наоборот, указывает на априорное происхождение. Одни говорят, что аксиомам соответствует какая–то реальная предметность; другие, наоборот, — что это чистейшие фикции, о реальности которых нечего и ставить вопрос и которые функционируют как словесные знаки, совершенно условные и субъективные. Ясно, что все подобные суждения направлены к целям совсем не математическим и совсем не к чисто логическим. Эти рассуждения хотят протащить то или иное определенное (а часто и совсем неопределенное) мировоззрение и меньше всего стараются изъяснить смысл самих аксиом. Аксиоматику с такой точки зрения рассматривают, в сущности, только как пример для подтверждения и иллюстрации более общих, уже чисто мировоззрительных убеждений. Так можно рассматривать не только математическую аксиоматику, но все, что угодно, любую науку и.любое знание, любое представление или идею человеческого ума.