Хаос и структура

Из предыдущего вполне ясно, что бесконечность меньше всего определяется размерами. Бесконечность помещается в любых конечных размерах. Если мы возьмем линию длиною в 5 см, то на ее протяжении поместится бесконечное количество точек. Если мы возьмем линию длиною в 1 см, то, очевидно, на ней тоже поместится бесконечное количество точек. Если мы возьмем линию в 0,1 см, в 0,01 см, в 0,001 см длиною и т. д. и т. д., то и на этих линиях, как бы малы или велики они ни были, тоже помещается бесконечное количество точек. Отсюда совершенно ясно: бесконечная величина определяется не абсолютными размерами числа или вещи, но определенно— взаимоотношением их целости и их дробности, а именно тем взаимоотношением, когда они даны как полное тождество.

3. Антиномии и типы бесконечности. Вопрос об антиномиях, равно как и вопрос о типах бесконечности, — не только сложная вещь, но она потребовала бы и слишком пространного изложения. Заниматься этим, однако, должны теоретико–философские сочинения, в то время как настоящее сочинение имеет очень узкие цели, да и занимается математический анализ, если его брать в чистом виде, только одним специфическим типом бесконечности. Поэтому, не развивая антиномики бесконечного в систематическом виде, формулируем то, что уже было сказано выше, в расчлененно–антиноми–ко–синтетической форме и тем самым дадим по возможности четкое изображение диалектики понятия бесконечности.

I. 1. Целое состоит из частей, так как в нем ничего и нет, кроме частей.

Это значит, что целое тождественно со своими частями.

Но тогда оно распростерто по всем своим частям и, след., находится везде.

Итак, целое, состоя из частей, находится везде.

2. Целое не состоит из частей, так как ни одна часть, взятая сама по себе, не говорит о целом, и, след., не говорят о нем и все части, взятые вместе.

Это значит, что целое не содержится в своих частях, т. е. оно не находится нигде.

Итак, целое, не состоя из частей, нигде не находится.

3. Целое и состоит, и не состоит из своих частей, т. е. оно сразу и одновременно и находится везде, и не находится нигде.

Но «состоять» и «не состоять», равно как и «везде» и «нигде», связаны между собой антитетически, т. е. как бытие и небытие. Поэтому связаны они между собой как становление одного другим.

Следовательно, целое и его части находятся в процессе становления, в котором они взаимно переходят одно в другое, т. е. целое неразличимо становится самими частями и части неразличимо становятся целым.

II. 1. Целое—везде.

Это значит, что части его взаимно неразличимы.

2. Целое — нигде.

Это значит, что части его взаимно различимы.

3. Целое—и везде, и нигде.

Следовательно, части целого находятся в процессе становления, в котором они взаимно переходят одна в другую, т. е. каждая отдельная часть неразличимо становится каждою другою частью.

III. 1. Целое становится частями, как и части целым; и части становятся одна другою.

2. Но в становлении отождествлены бытие и небытие.

Здесь бытие становится небытием; стало быть, оно уничтожается.

И небытие становится бытием; стало быть, оно возникает.

Становление, следовательно, есть противоречие возникновения и уничтожения.

Разрешается это противоречие в такой категории, где возникновение и уничтожение совпадают.

Эта категория есть то, что получается в результате становления, т. е. ставшее. И ставшее возникает в каждый мельчайший момент становления; поэтому ставшее в свою очередь пребывает в процессе становления, рассыпаясь на бесконечное количество ставших моментов и из них восстановляясь.

3. Целое и части, а также части между собой возникают одно из другого и уничтожаются одно в другом при полном отождествлении этих процессов. Становящееся тождество возникновения и уничтожения есть бесконечность.

В результате этого бесконечностью нужно считать такой процесс, в котором каждый мельчайший новый момент есть возникновение нового, небывалого и в то же время уничтожение как всех старых моментов, так и самого себя.

Полученное нами здесь понятие бесконечности может быть развито в трех разных направлениях.

Во–первых, можно в этом понятии выдвигать на первый план момент количества, счетности. Хотя, строго говоря, бесконечность не есть нечто количественное и ее нельзя получить в результате счета, все же она относится к числовой сфере, и какую–то количественность она в себе содержит. Эта количественность совсем особого рода. Тут отдельные моменты количества слиты один с другим до полной неразличимости. И тем не менее они все же наличны. Упирая на счетность, мы получим тип бесконечности, который есть.

I. Арифметическая бесконечность. С этим типом бесконечности мы стараемся производить обычные арифметические операции, хотя своеобразие этой категории приводит к своеобразию и операций над нею.