Хаос и структура

Единственная жизненная сфера математики — это ее техническое применение. Однако для нас это нисколько не утешительно. Если на основании какого–нибудь математического расчета строится то или иное сооружение или машина, то одно из двух. Или это сооружение и машина не есть достояние истории и не сгусток определенных социальных отношений, не есть произведение человеческого труда со всей его исторической обстановкой. Или это сооружение есть момент именно в истории, в социальной жизни есть результат, напр., определенных производственных отношений. В первом случае апелляция к технике не имеет для нас никакого значения, потому что конкретизация и жизненность математики в этом смысле есть конкретизация внутри ее самой; это просто додумывание тех же самых основ чистой математики до ее прикладных выводов, просто новая комбинация все тех же самых чистых и отвлеченных формул. Тут нет ничего принципиально нового. Прикладная математика и чистая математика — это одно и то же, две стороны одного и того же. И совсем другое в том случае, когда построенное на основе математических исчислений сооружение входит в реальную человеческую историю, есть продукт живой социальной мысли, живого человеческого труда, результат определенной исторической обстановки, и теоретико–технической, и практически–производственной, и духовно–творческой. Но тогда мало одной технической конкретизации математики. Тогда надо показать, что же именно в математике обусловило собою возможность такого сооружения или машины, с таким стилем духовной культуры и при таких производственно–технических отношениях. Тогда надо будет поставить вопрос не о техническом только приложении математики, но о ее социально–исторической значимости, о ее человеческом и культурном стиле.

Из прикладной механики мы знаем, что вращающий эффект пароходного руля пропорционален cos х–sin² х, где есть угол с линией киля[220]. Если мы изучим теорию максимумов и минимумов в математическом анализе, то мы легко можем, напр., определить в условиях наибольшего эффекта пароходного руля. Что при решении подобной задачи мы как–то конкретизируем отвлеченный математический анализ и как–то приближаем его к жизни, это факт. Но как мы его здесь конкретизируем и к какой жизни приближаем? К какой угодно, но только не к социальной, не к человеческой. Из того, что пароход со своим рулем и килем существует в человеческой обстановке, нисколько не вытекает, что мы его и понимаем обязательно человечески. В человеческой обстановке существует, напр., сам организм человека, с сердцем, легкими, мозгом и пр.; и это совершенно не значит, что мы его понимаем человечески и даже вообще понимаем. До сформирования анатомии как науки люди уже жили тысячелетия и почти ничего не понимали в своем собственном организме. Точно так же и в случае с «техническим» пониманием парохода. Технически понимать что–нибудь совершенно не значит понимать исторически, социально, экономически. Мы можем иметь очень смутное представление о пароходном руле и киле и все–таки решить приведенную выше задачу. Ее можно формулировать примерно следующим образом: при каком получается наибольший вращающий эффект чего–нибудь, если этот вращающий эффект пропорционален величине cos х–sin² Таким образом, чтобы решить техническую задачу, вовсе не обязательно даже предметно ясное представление тех объектов, к которым эта задача относится. Если же такое представление и налично, то оно, взятое само по себе, ровно ничего исторического в себе не содержит; это просто арена применения чистой математики, от которой много получает сама арена, эти самые сооружения и машины, но ровно ничего не получает математика и, можно сказать, никак не конкретизируется, если под конкретизацией не понимать возникновение тех или иных комбинаций уже имеющихся чисто теоретических построений.

Итак, все виды прикладной математики не выявляют культурно–социального и человеческого лика математики. И если задаваться целью действительно жизненного понимания математических наук, то необходимо искание для этого совсем других путей. Техника, лишенная духовно–творческой, культурно–стилевой, производственно–трудовой базы, есть только сама же отвлеченная математика, и больше ничего. Ее конкретность не более той, на которую способна чистая математика своими собственными отвлеченными силами.

2. Феодальный стиль. В этом сочинении нам предстоит дать историко–культурное введение не во всю математику (для чего понадобилось бы гораздо больше времени и труда, чем то, [что] отведено на это сочинение), но только введение в анализ, т. е. введение в исчисление бесконечно–малых, в дифференциальное и интегральное исчисление. Не будем пугаться слишком далеких экскурсий в историю. Они будут не очень продолжительны. Однако без них невозможно никакое понимание исторической сущности анализа.