Хаос и структура

4. Остается еще сказать несколько слов о том, что значит в логическом смысле получить неопределенный интеграл. Математики учат, что интегрирование всегда содержит в себе ту неопределенность, что к получаемому виду функции как первообразной мы должны еще прибавить величину с, именно произвольную постоянную величину. Объясняется это тем, что, поскольку производная от постоянного равняется нулю, в интеграле всегда должны быть те или другие постоянные, которые при дифференцировании исчезают, переходя от производной к первообразной. Мы, конечно, должны учитывать и их. Можно также сказать, что интегрирование функции в этом «неопределенном» виде дает нам интеграл как функцию только верхнего своего предела. Он ограничен «сверху», а не «снизу», т. е. если мы получаем в качестве интеграла некоторую кривую, то чертить мы ее можем, как угодно перемещая ее ординаты поступательно параллельно самим себе, ибо начало отсчета по х–гм остается совершенно неопределенным и потому произвольным. Это и называется неопределенным интегралом. Он получается всегда, когда мы идем от производной к первообразной. И если каждому интегралу соответствует только одна производная, то каждой производной соответствует бесконечное количество интегралов, правда различающихся между собою не структурой функции, но только тем или иным постоянным. Геометрически мы тут получаем не просто кривую, но т. н. семейство кривых, т. е. бесчисленное количество мест, где чертится одна и та же кривая в зависимости от допущений той или другой точки отсчета по линии х–ов при черчении данной кривой.

Спрашивается: что же соответствует в логике этому неопределенному интегралу?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что в определенном интеграле мы имеем в виду его абсолютное численное значение, в то время как неопределенный интеграл, оставляя неопределенными исходные данные, дает только метод получения абсолютной численной величины. Если мы путем интегрирования получим закон падения тела, то ведь очень большая разница получится в характере данного падения реального тела в зависимости от того, с какой высоты начинается падение. Эту абсолютную данность исходных условий как раз и не охватывает неопределенный интеграл. И только определенный интеграл, когда функция интегрируется в точно данных пределах изменения аргумента от какого–нибудь _х до какого–нибудь jc₂, только такой интеграл и способен дать нам абсолютное численное значение возникающей здесь первообразной.

Имея это в виду, нетрудно теперь понять, что такое в логическом смысле неопределенный интеграл и что такое в логическом смысле определенный. Неопределенный интеграл есть понятие (а оно получается здесь как и при всяком интегрировании в качестве синтеза конечного и бесконечного), есть только принцип познания, а не результат познания, в то время как определенный интеграл есть именно результат познания. В одном случае понятие нам указывает, как надо рассуждать, если данные условия именно таковы. В другом случае понятие говорит, что получается при рассуждении относительно именно этих вот реальных условий. Одно дело — исходить из каких бы то ни было условий и утверждать, что если есть то–то, то обязательно должно быть и вот что. И другое дело — исходить из данных реальных условий и утверждать, что наблюдаемое явление начинается тем–то и кончается тем–то.

Это различие между понятием как принципом познания и понятием как результатом познания весьма небесполезно для логики; и математика дает для этого точный коррелят как раз в интересующей нас сейчас инфинитезимальной области. С одной стороны, мы имеем понятие яда, полученное нами путем интегрирования общего действия известного рода химических соединений на организм; оно для нас принцип для определения того, является ли данное химическое соединение ядом. С другой стороны, мы имеем понятие карболовой кислоты, ядовитость которой не есть просто общий метод отравления организма, но именно данная определенная картина этого отравления, отличная, напр., от отравления углекислым газом. Конечно, уже и производная, как мы видели, есть некоторый принцип познания, и это уже потому, что она есть предел; она тоже есть, как мы знаем, метод охвата бесчисленных мельчайших сдвигов в наблюдаемых нами явлениях. Однако интеграл, понимаемый как принцип, идет дальше и глубже. Он не просто дает нам способ раскрывать общие тенденции в развитии и становлении признаков понятия, как это делает производная, но все эти признаки связывает в одно целое понятие. Производная есть принцип познания признаков понятия, интеграл же есть принцип познания (или установления) самого понятия. Поэтому не нужно смущаться тем, что и производная, и интеграл одинаково суть принципы познания.