Хаос и структура

В школьной логике мы безоговорочно проповедуем: род делится на виды, из рода вытекают виды, виды выводятся из рода. Но как все это возможно? Ведь, строго говоря, из чистого понятия ровно ничего дедуцировать нельзя. Это—только темная и узколобая аберрация мысли думать, что из понятия вещи можно дедуцировать его виды. Из понятия дома как именно понятия совершенно невозможно дедуцировать ни понятия дворца, ни понятия лачуги, ни понятия храма, ни понятия конюшни. Если мы такую дедукцию производим, то только путем сопоставления данного понятия вещи с самой вещью, вернее, с изменением вещи, так что при этом наше понятие и оказывается охватывающим много разных видов данной вещи, т. е., попросту, делится на разные видовые понятия. И вот эту–то ценнейшую мысль для всякого реалистического понимания логики и выражает инфинитезимальное понимание «основания деления», т. е. понимание его как производной. «Основание деления» данного общего понятия действительно дедуцируется, выводится из самого понятия, есть его производная функция, но только так, что эта дедукция есть только сопоставление с соответствующей вещью как с независимым переменным, и только так, что это «основание деления» есть предел и принцип, закон для бесконечного числа непрерывно изливающихся друг в друга видовых понятий данного общего понятия.

Вот что такое производная математического анализа в ее логическом раскрытии, вот каков ее формально–логический коррелат, и вот каков должен быть принцип деления общего понятия.

Посмотрим, как тут рассуждают математики, и прежде всего обратим внимание на то, что такое тут искомое нами «общее». Не забудем, что мы здесь все время действуем в условиях бесконечного и непрерывного процесса. Мы исходим из бесконечного и непрерывного становления аргумента и устанавливаем такое же становление и зависимых от него функций. Найти здесь что–нибудь «общее» — это не значит найти какое–нибудь[205] абсолютно неподвижное общее. Наше общее тоже должно находиться в становлении или по крайней мере быть принципом становления. Исходя из этой общеин–финитезимальной позиции, математики рассуждают так.

Мы брали на нашей кривой две точки и М' и вычисляли связанное с этим приращение по обеим осям координат. Приращение это было — определенных размеров, конечное приращение. Но, чтобы остаться на позиции бесконечно–малых, очевидно, надо говорить о бесконечно–малых приращениях, другими словами, надо исследовать, как меняется наша кривая в отношении к абсциссе в мельчайший, в исчезающе малый момент своего протекания. Для этого надо допустить, что наш изменяется на бесконечно–малую величину, и тогда таким же, вообще говоря, будет и приращение у, т. е. обе наши точки сблизятся на бесконечно–малое расстояние; а секущая ММ\ соединявшая обе точки кривой, превратится в пределе в касательную к нашей кривой в той точке А/, которую мы оставили неподвижной и к которой приближали на бесконечно–малое расстояние другую точку кривой '. Стало быть, в условиях бесконечно–малых приращений аргумента и функции свидетелем поведения кривой в данной точке будет уже угол между касательной к ней в данной точке и осью абсцисс; и само отношение между этими приращениями функции и аргумента, взятое в пределе, при Ах, стремящемся к нулю, окажется тангенсом угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Этот новый тангенс существенно отличается от прежнего. Прежний тангенс составлялся как отношение конечных приращений. Поэтому зависимость его не была общей. Этот тангенс характеризовал наклон к оси абсцисс некоей секущей, соединявшей две определенные точки на нашей кривой, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга. Теперешний же тангенс есть предел отношения бесконечно–малых приращений ординаты и абсциссы, предел, к которому стремится отношение приращений функции и аргумента в условиях стремления приращения аргумента к нулю. Этот «наклон» и тангенс приходится, так сказать, на каждую инфинитезимальную единицу. Это есть производная от функции, взятая по ее аргументу, которая имеет общее выражение решительно на всем непрерывном протяжении нашей кривой; она есть нечто тождественное самой себе решительно везде. Поэтому и значимость ее на этот раз уже не частная, не частичная, но—совершенно общая, и притом инфинитезимально общая. Это — вполне определенная, единственным образом выраженная функция того же аргумента jc, принимающая бесконечно разнообразные значения в связи со становлением х.