Кантор. Бесконечность в математике.

Возьмем число 0,333... Как найти эквивалентное ему множество? На рисунке показано, что сначала мы должны записать его в двоичной системе. Получив выражение 0,01010101..., возьмем только его часть после запятой, в данном случае 010101..., и посмотрим, какое множество соответствует этой последовательности. Поскольку это последовательность нечетных чисел, то 0,333... соответствует ей.

Таким же образом, если у нас есть множество, образованное, например, числами 2 и 3, и мы хотим узнать, какому числу оно соответствует, сначала мы должны представить его в виде последовательности нуля и единицы. В данном случае это будет выражение 00110000..., и рассмотрим его как цифры после запятой некоего числа, записанного в двоичной системе. Это число 0,001100000..., которое в десятичной системе будет выглядеть как 0,1875. Таким образом, множеству, состоящему из чисел 2 и 3, соответствует число 0,1875.

Итак, мы видим, что 'P(N) эквивалентно множеству всех чисел между 0 и 1. Но в главе 3 отмечалось, что оно эквивалентно R (любой отрезок эквивалентен всей прямой); таким образом, мы выводим, что 'P(N) эквивалентно R. Наконец, на вопрос, какова же мощность 'P(N), в 1892 году Кантор ответил, что она равна мощности R.

Взаимно однозначное соответствие между вещественными числами (в промежутке от 0 до 1) и множествами, состоящими из вещественных чисел.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

Рассмотрим еще одну операцию из области трансфинитной математики.

Вернемся к последовательностям нуля и единицы, но теперь рассмотрим только конечные. Сколько таких последовательностей мы можем образовать, если в них должно быть только две цифры? Всего четыре последовательности: 00, 01, 10 и 11. Если цифр три, то их будет восемь: 000, 001, 010, 100, 110, 101,011, 111, а если цифр всего четыре, то 16. Если цифра одна, то последовательностей будет только две: 0 и 1.

Итак, у нас есть 2¹ последовательности из одной цифры, 2² последовательности из двух цифр, 2³ последовательности из трех цифр и так далее. Логично было бы предположить, что мощность последовательностей из «X₀ цифр» будет равна  2^X0. Действительно, в «Обоснованиях» Кантор дает определение возведению мощностей в степень и основывает его на понятии, которое он назвал покрытием. Когда мы составляем бесконечную последовательность из нуля и единицы, утверждает Кантор, мы покрываем каждый элемент N нулем или единицей.

Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 2³; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 2⁴, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2^X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2^X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2^X0  X₁ ?».

Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3^X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3^X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3^X0 больше 2^X0 , однако это не так. На самом деле 2^X0 = 3^X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.

Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X_1? для этих ординальных чисел существует 2^X₁ возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2^X₁ больше 2^X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X₁ больше X₀ , то и 2^X₁ обязательно больше 2^X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X₁3 не больше 2^X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X₁ ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X₁ цифр, то есть по цифре на ординал.