Кантор. Бесконечность в математике.

Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. В теории множеств обнаруживается еще один парадокс, известный как «парадокс Кантора». В начале XX века был открыт третий парадокс, названный именем Бертрана Рассела. Без преувеличения можно утверждать, что он вызвал настоящий кризис в математике. В следующей главе мы рассмотрим все парадоксы теории Кантора и проанализируем влияние, которое они оказали на математику.

ГЛАВА 5 Парадоксы бесконечности

В одном письме 1902 года английский логик Бертран Рассел сформулировал очень простой вопрос, спровоцировавший, тем не менее, глубокий «кризис» в математической науке. Он затянулся почти на 30 лет, а его последствия ощутимы и сегодня. Вопрос Рассела был таков: «Является ли это множество, о котором я говорю, частью самого себя?»

В 1883 году, когда Кантор написал статью «Основы общего учения о многообразиях», он уже понимал, что его теория содержит как минимум один парадокс. Но что такое парадокс? На самом деле это слово используется в литературе и разговорном языке в разных значениях, не всегда совпадающих друг с другом. В логике парадокс обнаруживается, когда в рамках одной теории можно одновременно доказать существование и несуществование какого-либо объекта или когда свойства чего-либо противоречат друг другу. Таким образом, парадокс означает, что с точки зрения логики теория несостоятельна. В этом смысле можно утверждать, что Кантор действительно обнаружил в своей теории парадокс, или логическое противоречие, а это всегда плохой признак, поскольку он означает, что в основе теории есть ошибка — лакуна, которую надо обнаружить и устранить.

Иногда же слово «парадокс» используется как синоним «удивительного» или «противоречащего ожиданиям», а никак не «логического противоречия». Например, X₀ + 1 = X₀ «парадоксально», поскольку мы воспринимаем только конечные количества и думаем, что при добавлении нового элемента к определенному множеству в результате их количество увеличится. С другой стороны, X₀ + 1 = X₀ свидетельствует о том, что в случае с бесконечностью количество останется прежним.

Хоть это и удивительно, но равенство X₀ + 1 = X₀ не является парадоксом в смысле логики, поскольку оно не таит в себе никакого логического противоречия. Оно просто подчеркивает, что правила, по которым существуют бесконечные количества, отличаются от конечных.

Мы будем использовать термин «парадокс» в первом значении, имея в виду логическое несоответствие какой-либо теории. Вернемся же к парадоксу, который Кантор обнаружил в 1883 году. Он заключался в том, что последовательность ординальных чисел порождается в соответствии с двумя принципами. Первый гласит, что за каждым ординалом идет непосредственно следующий; по этому принципу сразу за ω идет ординал ω + 1.

У бесконечных множеств есть некоторые любопытные свойства, которые иногда назывались парадоксальными. На самом деле они не парадоксальны, а просто немного удивительны, когда сталкиваешься с ними впервые.

Рэймонд Смаллиан, американский логик, «Сатана, Кантор и бесконечность, в также другие головоломки», 1992 год

Второй принцип утверждает, что если дана произвольная бесконечная последовательность ординальных чисел, непосредственно за ней всегда будет идти еще один ординал, который не является членом этой последовательности. Данный принцип гарантирует, что, например, за бесконечной последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... идет новый ординал ω, а за бесконечной последовательностью ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,... — новый ординал ω + ω. Парадокс появляется, когда мы пытаемся применить второй принцип порождения к последовательности, образованной всеми ординалами, назовем ее С. Действительно, согласно второму принципу, если мы возьмем последовательность всех ординалов С, то сразу же за ней будет идти новый ординал, который не является частью С. Обозначим его как О (греческая буква омикрон). Поскольку С содержит все ординалы, то в нем будет и О. Но ведь его там нет. Получается, что О обладает двумя противоречащими друг другу характеристиками: он не является частью С, но одновременно является. Мы обнаружили парадокс (см. рисунок).