Как же называется эта книга?

Это предложение можно представлять себе как некоторое предложение X, содержащее утверждение о своей недоказуемости. Такое предложение действительно должно быть истинно, но недоказуемо (подобно тому как житель острова G, утверждавший, что он непризнанный рыцарь, действительно был рыцарем, но не был признанным рыцарем). Возможно, вы спросите: но если известно, что предложение X (содержащее утверждение о своей недоказуемости) истинно, то почему бы не принять его за новую аксиому? Разумеется, мы можем пополнить список аксиом системы еще одной аксиомой, но расширенная система также будет удовлетворять условиям E1, E2, C и H. Следовательно, в ней найдется другое предложение X1, которое будет истинным, но недоказуемым в расширенной системе. Таким образом, хотя расширенная система позволяет доказать больше истинных предложений, чем старая, тем не менее и в ней доказать все истинные предложения невозможно.

Должен сказать, что мое изложение метода Гёделя отличается от первоначального доказательства теоремы, предложенного самим Гёделем. Основное отличие состоит в том, что я использую понятие истинности, отсутствующее у Гёделя. Действительно, в первоначальном виде теорема Гёделя не содержит утверждения о существовании в системе истинного, но недоказуемого (невыводимого) предложения. В ней говорится нечто иное: при некотором правдоподобном допущении относительно системы в ней непременно существует предложение (и Гёдель демонстрирует такое предложение), которое в рамках системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Понятие истинности было строго формализовано логиком Альфредом Тарским. Он доказал, что для математических систем, удовлетворяющих условиям теоремы Гёделя, множество гёделевых номеров истинных предложений неопределимо в системе. Иногда этот результат формулируют так: «Во всякой достаточно мощной системе истинность предложений системы неопределима в рамках самой системы».

271. Последнее слово

Рассмотрим следующий парадокс:

Это предложение недоказуемо.

Парадокс состоит в следующем. Если это предложение ложно, то не верно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо, а это означает, что оно истинно. Итак, предположив, что это предложение ложно, мы пришли к противоречию. Значит, оно должно быть истинно. А теперь будьте внимательны! Я доказал, что предложение, набранное курсивом, истинно. Но в истинном предложении говорится о том, что есть на самом деле. Значит, оно недоказуемо. Как же мне удалось доказать его? Где ошибка в приведенных мною рассуждениях?

Ошибка в том, что понятие доказуемого предложения не вполне определенно. Одна из основных задач важного раздела современной математики, известного под названием «математической логики», состоит в придании точного значения понятию доказательства. Вполне строгого универсального определения доказательства, применимого к любым математическим системам, пока не существует. В современной математической логике принято говорить о доказуемости в рамках данной системы. Предположим, что у нас имеется система (назовем ее системой S), в которой строго определено, что такое доказуемость в рамках системы S. Предположим также, что система S непротиворечива, то есть что всякое доказуемое в S предложение действительно истинно. Рассмотрим следующее предложение:

Это предложение недоказуемо в системе S.

Никакого парадокса теперь не возникает, хотя это предложение обладает одним довольно интересным свойством. Дело в том, что оно должно быть истинным, но недоказуемым в системе S. Оно представляет собой грубый аналог предложения X (содержащего утверждение о собственной недоказуемости не вообще, а в рамках системы S), построенного Гёделем в первоначальном варианте доказательства его знаменитой теоремы.