Как же называется эта книга?

Эта задача очень напоминает одну из задач о парах шкатулок (задачу 136 из гл. 9), в которой одна из двух шкатулок (какая именно – неизвестно) изготовлена либо Беллини, либо Челлини (но кем именно – опять-таки неизвестно).

268. Несколько нерешенных задач

Я придумал несколько задач о гёделевых и дважды гёделевых островах, но решить их так и не собрался. Думаю, что читателю будет приятно испробовать свои силы на работе, сулящей неожиданности и, быть может, даже открытия.

268а

Я уже говорил о том, что, насколько мне известно, ни одно из условий G, CG не следует из другого. Удастся ли вам доказать (или опровергнуть, что я считаю маловероятным) мою гипотезу? Для этого вам необходимо «построить» остров, для которого выполняется условие G, но не выполняется условие CG, а также остров, для которого выполняется условие CG, но не выполняется условие G. Построить остров означает в данном случае указать, кем он населен, кто из его обитателей рыцари и кто лжецы, какие обитатели являются и какие не являются членами одного клуба. (Кто из рыцарей обладает правом называться признанным рыцарем и кого из лжецов следует называть отъявленными лжецами, для решения этой задачи значения не имеет.)

268б

Можете ли вы доказать (или опровергнуть) мою гипотезу о том, что на острове S¹ не обязательно должны быть непризнанные рыцари и неотъявленные лжецы (хотя непременно должны быть рыцари и лжецы)? Иначе говоря, можете ли вы построить остров, удовлетворяющий условиям Е₁, Е₂ и CG, на котором есть рыцари, но нет непризнанных рыцарей? Можете ли вы построить остров, на котором есть лжецы, но нет неотъявленных лжецов? (На этот раз при построении островов необходимо указать не только кто из его обитателей называется рыцарем или лжецом и состоит в том или ином клубе, но и указать, каких рыцарей следует считать признанными и каких лжецов – отъявленными.)

268в

Предположим, что все острова, о которых говорится в предыдущих задачах, допускают построение (интуитивно я убежден в том, что построить эти острова можно, хотя и не могу этого доказать). Какова минимальная численность населения каждого острова? Можете ли вы доказать, что при меньшей численности населения какое-то из условий будет нарушено?

В. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ

269. Полна ли эта система?

У одного логика хранится «Книга высказываний». Страницы книги перенумерованы последовательными натуральными числами, и на каждой странице записано ровно одно высказывание. Ни одно высказывание не занимает более одной страницы. Номер страницы, на которой записано высказывание X, назовем номером высказывания X.

Разумеется, каждое высказывание, внесенное в «Книгу высказываний», либо истинно, либо ложно. Некоторые из истинных высказываний настолько очевидны логику, у которого хранится книга, что он принял их за аксиомы своей логической системы. Помимо аксиом, в эту систему входят правила вывода, позволяющие доказывать истинные высказывания, сводя их к ранее доказанным истинным высказываниям и аксиомам, и опровергать ложные высказывания. Логик совершенно уверен в своей непротиворечивости (то есть в том, что всякое высказывание, доказуемое в его системе, действительно истинно, а каждое высказывание, опровергаемое в его системе, действительно ложно), но сомневается в ее полноте (то есть в том, что в системе все истинные высказывания доказуемы, а все ложные опровержимы). Все ли истинные высказывания доказуемы в его системе? Все ли ложные высказывания опровержимы в его системе? На эти вопросы логик хотел бы получить ответ.

У нашего логика помимо «Книги высказываний» есть еще «Книга множеств». Ее страницы также перенумерованы последовательными натуральными числами, и на каждой странице приведено описание некоторого множества чисел. (Под числами мы понимаем здесь целые положительные, или натуральные, числа 1, 2, …, n, …). Любое множество, внесенное в «Книгу множеств», мы будем называть учтенным множеством.

Если задано натуральное число n, то может случиться, что множество, записанное на n-й странице «Книги множеств», содержит число n. В этом случае мы будем называть n экстраординарным числом. Кроме того, назовем число h сопряженным с числом n, если в высказывании, записанном на n-й странице «Книги высказываний», утверждается, что n – экстраординарное число.

Известно, что выполняются следующие четыре условия:

Е₁: Множество номеров всех доказуемых высказываний – учтенное множество.

Е₂: Множество номеров всех опровержимых высказываний – учтенное множество.

С: Для любого учтенного множества А множество ^~А, состоящее из всех чисел, которые не принадлежат множеству А, – учтенное множество.

Н: Для любого учтенного множества А существует другое учтенное множество В, такое, что каждое число из В имеет сопряженное, принадлежащее А, и каждое число, не принадлежащее В, имеет сопряженное, не принадлежащее А.