Как же называется эта книга?

Этих четырех условий достаточно, чтобы ответить на вопросы логика: «Каждое ли истинное высказывание доказуемо в его системе? Каждое ли ложное высказывание опровержимо в его системе?» Кроме того, можно определить, является ли множество номеров всех истинных высказываний учтенным множеством, а также является ли учтенным множеством множество номеров всех ложных высказываний.

Как это сделать?

Решение. Перед вами не что иное, как гёделев остров из раздела А, но в ином «одеянии». Номера истинных высказываний играют роль рыцарей, номерам ложных высказываний отведена роль лжецов, доказуемые высказывания соответствуют признанным рыцарям, опровержимые – отъявленным лжецам. Учтенные роли заменяют собой клубы. Понятие множества, записанного на странице с заданным номером, играет роль клуба, названного по имени одного из обитателей острова. Экстраординарные числа – это не что иное, как номинабельные члены общины, а сопряженные числа являются аналогами друзей.

Чтобы решить задачу, прежде всего необходимо доказать аналог условия G.

Условие G. Для любого учтенного множества А найдется высказывание, истинное в том и только в том случае, если его номер принадлежит А.

Чтобы доказать условие G, выберем любое учтенное множество А. Пусть В – множество, заданное условием Н, n – номер страницы, на котором записано В в «Книге множеств». По условию Н если число n принадлежит В, то у него имеется сопряженное число h, принадлежащее множеству А, а если n не принадлежит В, то у него есть сопряженное число h, не принадлежащее А. Мы утверждаем, что высказывание X на h-й странице и есть то самое высказывание, которое требуется найти.

Высказывание X утверждает, что n – экстраординарное число, то есть что n принадлежит множеству В (так как множество В занесено на n-ю страницу «Книги множеств»). Если X истинно, то число n действительно принадлежит множеству В. Следовательно, h принадлежит А. Итак, если X истинно, то его номер (число h) принадлежит множеству А. Предположим теперь, что X ложно. Тогда число n не принадлежит В. Следовательно, сопряженное число h не принадлежит А. Итак, X истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству А.

После того как условие G доказано, ответить на вопросы логика уже нетрудно. Дано, что множество номеров А всех доказуемых высказываний – учтенное множество. Следовательно, по условию С множество ^~А всех чисел, не совпадающих с номерами доказуемых высказываний, также учтенное множество. Значит (по условию G), существует высказывание X, которое истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству ^~А. Но если номер высказывания X принадлежит множеству ^~А, то он не принадлежит множеству А, то есть высказывание X недоказуемо (так как множество А состоит из номеров доказуемых высказываний). Итак, X истинно в том и только в том случае, если X недоказуемо. Это означает, что либо X истинно и недоказуемо, либо X ложно и доказуемо. По условиям задачи ни одно ложное высказывание не доказуемо в системе. Следовательно, X должно быть истинным и недоказуемым в системе.

Построим теперь ложное высказывание, которое неопровержимо в системе. Пусть А – множество всех опровержимых высказываний. Воспользовавшись условием G, мы получим высказывание Y, истинное в том и только в том случае, если его номер совпадает с номером какого-нибудь опровержимого высказывания, то есть Y истинно в том и только в том случае, если Y опровержимо. Это означает, что Y либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Первая альтернатива отпадает, так как опровержимое высказывание не может быть истинным. Следовательно, Y должно быть ложным, но неопровержимым в системе.

Перейдем теперь к остальным вопросам логики. Если бы множество номеров всех ложных высказываний было учтенным множеством, то существовало бы высказывание Z, которое было бы истинным в том и только в том случае, если бы его номер совпадал с номером какого-нибудь ложного высказывания. Иначе говоря, Z было бы истинным в том и только в том случае, если Z ложно, что невозможно. (Z напоминало бы высказывание «это высказывание ложно».) Следовательно, множество номеров всех ложных высказываний – неучтенное множество. Из условия С следует, что множество номеров истинных высказываний также не является учтенным множеством.

270. Теорема Гёделя

Предыдущая задача представляет собой не что иное, как упрощенный вариант знаменитой теоремы Гёделя о полноте.