Как же называется эта книга?

Решение задачи 264а. По условию Е₁ все признанные рыцари острова (образующие множество Е) являются членами одного клуба. Следовательно, по условию С все островитяне, входящие в множество ∼Е непризнанных рыцарей, также являются членами одного клуба. Но тогда по условию G существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что является членом клуба Е (иначе говоря, он утверждает, что не принадлежит к множеству непризнанных рыцарей).

Лжец не мог бы утверждать, что он не признанный рыцарь (поскольку утверждение о том, что лжец – не признанный рыцарь, истинно). Следовательно, островитянин, высказавший это утверждение, должен быть рыцарем. Поскольку он рыцарь, то высказываемые им утверждения истинны, поэтому он непризнанный рыцарь. Значит, островитянин, высказавший это утверждение, – рыцарь, но не признанный рыцарь.

По условию Е₂ все отъявленные лжецы являются членами одного клуба. Следовательно (по условию G), существует по крайней мере один островитянин, утверждающий, что он отъявленный лжец (он утверждает, что является членом клуба отъявленных лжецов). Этот островитянин не может быть рыцарем (так как рыцарь не мог бы утверждать, что он лжец). Значит, он лжец. Следовательно, его утверждение ложно, поэтому он не отъявленный лжец. Значит, он лжец, но не отъявленный лжец.

Решение задачи 264б. Если бы все лжецы являлись членами одного клуба, то по крайней мере один островитянин утверждал бы, что он лжец. Но ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, все лжецы не являлись в одном клубе. Если бы все рыцари являлись членами одного клуба, то (по условию С) все лжецы также являлись бы членами одного клуба, что, как мы доказали, невозможно. Следовательно, все рыцари также не являются членами одного клуба.

Примечания. 1. Задача 264б дает еще одно решение задачи 264а. Хотя оно и неконструктивно, но тем не менее несколько проще предыдущего.

Если бы каждый рыцарь был признанным, то множество всех рыцарей совпадало бы с множеством признанных рыцарей, что невозможно, так как (по условию Е₁) все признанные рыцари состоят в одном клубе, а все рыцари (как показано в решении задачи 264б) не состоят в одном клубе. Таким образом, предположение о том, что все рыцари признанные, приводит к противоречию. Следовательно, должен существовать по крайней мере один непризнанный рыцарь. Аналогично если бы все лжецы были отъявленными, то множество отъявленных лжецов совпадало бы с множеством всех лжецов, что невозможно, так как все отъявленные лжецы являются членами одного клуба, в то время как все лжецы не являются членами одного клуба.

В отличие от только что приведенного доказательства наше первое доказательство позволяет установить дополнительные подробности: всякий, кто утверждает, что он непризнанный рыцарь, должен быть непризнанным рыцарем, а всякий, кто утверждает, что он отъявленный лжец, должен быть неотъявленным лжецом.

2. Доказывая, что все лжецы не являются членами одного клуба, мы использовали только условие G. Условия E₁, Е₂ и С нам не понадобились. Значит, из одного лишь условия G следует, что все лжецы не являются членами одного клуба. Более того, условие G эквивалентно утверждению, что все лжецы не являются членами одного клуба. Действительно, будем считать известным, что все лжецы не являются членами одного клуба. Тогда условие G можно вывести следующим образом.

Выберем любой клуб С. Так как все лжецы не является членами одного клуба, то С не множество всех лжецов. Следовательно, либо членом клуба С является какой-нибудь рыцарь, либо какой-нибудь лжец не является членом клуба С. Если какой-нибудь рыцарь является членом клуба С, то он заведомо утверждает, что является членом этого клуба (так как он всегда говорит только правду). Если бы какой-нибудь лжец не являлся членом клуба С, то он утверждал бы, что является членом этого клуба (так как он лжет). Следовательно, и в том и в другом случае кто-нибудь утверждает, что является членом клуба С.

265. Гёделевы острова в общем и целом

Рассмотрим теперь любой остров, населенный рыцарями и лжецами, на котором имеются клубы. Предполагается, что, кроме рыцарей и лжецов, на острове нет других обитателей. Назовем остров гёделевым, если выполняется условие G, то есть если для любого клуба С найдется по крайней мере один островитянин, утверждающий, что является членом этого клуба.

Как-то раз инспектор Крэг посетил такой остров, населенный рыцарями и лжецами, являющимися членами клубов. Крэгу (человеку с необычайно широким кругом интересов, теоретические познания которого не уступают его практической сметке) захотелось узнать, находится ли он на гёделевом острове. Ему удалось собрать следующие сведения.