Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, раздѣляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встрѣчаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были тѣ, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ родѣ нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были всѣ остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были тѣ, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ родѣнашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были всѣ остальныя, и, напр., ¹/₁₃ выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; ¹/₃₀ такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ родѣ запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ видѣ 2-хъ запятыхъ. Напр., ³/₂₁= γ′Kα′′ Kα′′, такъ какъ у грековъ γ обозначаетъ 3, а α единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по примѣру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что ¹/₂₁=Kα′′. Если нѣсколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: σ (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: ω.

Индусы, въ лицѣ одной изъ древнѣйшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали всѣ доли при помощи только ½, ¼, ¹/₁₆, ¹/₄₀, ¹/₈₀, ¹/₉₆₀. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Всѣ другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинствѣ случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти цѣлую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) имѣется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встрѣчаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя помѣщается цѣлое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5||  |- | |8 |}, а по нашему—5⁷/₈.

Представители позднѣйшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если цѣлыхъ нѣтъ, то они вверху помѣщаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;

отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ видѣ точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, слѣдуя манерѣ восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа налѣво, помѣщаетъ, въ случаѣ смѣшанныхъ чиселъ, справа цѣлое число, а лѣвѣе дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва цѣлое число, а потомъ уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, дѣловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего нѣтъ естественнѣе въ ихъ положеніи, какъ замѣнить отвлеченныя доли подраздѣленіями употребительныхъ мѣръ. Они остановили свое вниманіе на мѣрѣ вѣса— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ дѣлится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются всѣ дроби со знаменателемъ 12, т.-е.

при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вмѣсто того, чтобы сказать: «я прочиталъ ⁵/₁₂ книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.

Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тѣхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — вѣрнѣе сказать, индуссая—ариѳметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевѣсъ. Это относится къ XV—XVI вѣк. по Р. X. Въ эти вѣка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ тѣ же самые отдѣлы, которые встрѣчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмѣсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нѣмецкаго автора XVI в.:

«слѣдуетъ замѣтить, что всякая дробь имѣетъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, затѣмъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. ²/₅ — двѣ пятыхъ части».