Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднѣйшій и запутаннѣйшій отдѣлъ ариѳметики. Не даромъ и сейчасъ у нѣмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Brüche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тѣмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смѣшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дѣйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дѣленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсѣялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цѣлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нѣсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убѣждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тѣмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дѣло попроще и согласиться, что умножить въ цѣлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нѣсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки онѣ и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ прозѣ, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свѣдущимъ въ ариѳметикѣ». То же самое встрѣчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:

Но нѣсть той ариѳметикъ,
Иже въ цѣлыхъ отвѣтникъ,
А въ доляхъ сый ничтоже,
Отвѣщати возможе.
Тѣмже о ты радѣяй,
Буди въ частяхъ умѣяй.

Особенное уваженіе къ дробямъ свидѣтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правилѣ, онъ говоритъ:

«Нѣсть се дивно, что тройная статія въ цѣлыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».

Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.

Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непремѣнно единица; всѣ остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались замѣнять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь дѣйствіе надъ дробями, то онъ сперва замѣнялъ данныя дроби основными, за-тѣмъ дѣлалъ вычисленіе и уже въ концѣ-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отвѣтъ. Всѣ замѣны, которыя требовалось при этомъ дѣлать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:

Здѣсь между долями подразумѣвается, очевидно, сложеніе, такъ

Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби ⁷/₂₉. Ходъ вычисления такой:

При помощи такихъ таблицъ египтяне умѣли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли всѣ эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотрѣли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отвѣта дать сейчасъ нельзя, тѣмъ болѣе, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 лѣтъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли всѣ строки принадлежатъ одному составителю, вѣрнѣе всего отдѣльные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на нѣкоторые отвѣты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразумѣвали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смѣшать дробь съ цѣлымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только ²/₃ у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ цѣлыми числами, ни съ дробями.