Как не ошибаться. Сила математического мышления

Не хотелось бы слишком углубляться в эту тему, но именно так действуют многие знаменитые гипотезы в теории чисел. Гипотеза Гольдбаха, говорящая, что любое четное число больше 2 можно представить в вид суммы двух простых чисел – это еще одна гипотеза, которая была бы истинной только в случае, если простые числа вели бы себя как случайные величины. То же самое можно сказать по поводу гипотезы Бена Грина и Терри Тао, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины (за доказательство этой гипотезы в 2004 году Тао получил Филдсовскую премию).

Самой известной стала гипотеза, которую выдвинул в 1637 году Пьер Ферма. Она гласит, что уравнение

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ

не имеет решений в целых ненулевых числах A, B, C и n при n большем 2. (Когда n равно 2, это уравнение имеет множество решений, например 3² + 4² = 5².)

Все были убеждены в истинности гипотезы Ферма, точно так же, как сейчас мы убеждены в истинности гипотезы о простых числах-близнецах, но никто не мог доказать это[133], пока в 1990-х годах этот прорыв не совершил математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс. Мы были убеждены в этом, поскольку n-е степени целых чисел встречаются крайне редко, и поэтому вероятность обнаружения двух чисел, сумма n-х степеней которых равна n-й степени третьего числа, в случайном множестве столь редко встречающихся чисел близка к нулю. Более того: большинство специалистов убеждены в том, что не имеет решений и обобщенное уравнение Ферма

A^p + B^q = C^r

для достаточно больших значений степеней p, q и r. Банкир из Далласа по имени Эндрю Бил выплатит вам миллион долларов, если вы докажете, что это уравнение не имеет решений, если p, q и r больше 3, и если у чисел A, B и C нет общих простых делителей[134]. Я абсолютно убежден в истинности этого утверждения, поскольку оно было бы верным, если совершенные степени встречались бы редко, однако я считаю, что нам предстоит узнать о числах нечто совершенно новое, прежде чем мы сможем найти способ доказать это. Мы с коллегами потратили пару лет на доказательство того, что обобщенное уравнение Ферма не имеет решений при p = 4, q = 2 и r большем 4. Только для этого одного частного случая нам пришлось разработать новые методы, которых явно недостаточно для полного решения этой задачи на миллион долларов.

Несмотря на кажущуюся простоту гипотезы об ограниченных промежутках, доказательство Чжана требует ряда самых глубоких теорем современной математики[135]. Опираясь на работы многих предшественников, Чжан смог доказать, что простые числа выглядят случайными в первом смысле, о котором мы уже упоминали, когда говорили об остатках, полученных после деления на множество различных целых чисел. Исходя из этого[136], он смог доказать, что простые числа ведут себя как случайные величины и в совершенно другом смысле, связанном с размером промежутков между ними. Случайное случайно!

Достижение Чжана, наряду с работой других крупных современных ученых в этой области, таких как Бен Грин и Терри Тао, указывает на наличие еще более волнующей перспективы, чем любой отдельный результат в области простых чисел: возможно, в конечном счете мы встали на путь разработки более богатой теории случайности. Собственно говоря, речь идет о способе точного определения того, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что числа ведут себя так, будто они разбросаны в случайном порядке без какой-либо организующей структуры вопреки тому, что они возникают вследствие абсолютно детерминированных процессов. Какой замечательный парадокс: то, что помогает нам разгадать последние тайны простых чисел, может оказаться новой математической идеей, которая структурирует саму концепцию бесструктурности.

Глава девятая Международный журнал Гаруспиции

Вот притча, которую я узнал от статистика по имени Козма Шализи{120}. Представьте, что вы гаруспик, то есть человек, который предсказывает будущие события по внутренностям принесенных в жертву овец, особенно тщательно подвергается анализу их печень. Безусловно, вы не считаете свои предсказания надежными только потому, что придерживаетесь практики, предписанной этрусскими божествами. Это было бы нелепо. Вам нужны доказательства. Поэтому вы и ваши коллеги отправляете материалы своей работы в рецензируемый журнал под названием «Международный журнал гаруспиции[137]», чьи правила требуют, чтобы все без исключения опубликованные результаты прошли проверку на статистическую значимость.