Как не ошибаться. Сила математического мышления

Н – квадратный корень из двух есть рациональное число.

Другими словами, мы предположили, что √2 – это число, представленное в виде дроби m/n, где m и n – целые числа. Эту дробь можно привести к несократимому виду: если у числителя и знаменателя есть общий делитель, их можно сократить, сохранив дробь неизменной: нет смысла писать 10/14 вместо более простой дроби 5/7. Давайте перефразируем нашу гипотезу:

Н: квадратный корень из 2 равен m/n, где m и n – целые числа, не имеющие ни одного общего делителя.

В действительности это означает, что оба числа m и n не могут быть четными. Если предположить, что оба числа четные, это равносильно тому, чтобы сказать, что у них общий делитель 2. В таком случае, как и в случае дроби 10/14, можно было бы сократить числитель и знаменатель на 2, не изменив саму дробь, а значит, у нас была бы дробь, не приведенная к простейшему виду. Следовательно, утверждение

F: m и n есть четные числа

ложное.

Поскольку √2 = m/n, после возведения обеих частей этого уравнения в квадрат мы увидим, что 2 = m²/n², или, что то же самое, 2n² = m². Следовательно, m² – это четное число, а это значит, что само число m также четное. Число является четным, если его можно представить в виде произведения числа 2 на другое целое число, а значит, мы можем записать число m в виде 2k, где k – целое число. Это означает, что 2n² = (2k)² = 4k². Сократив обе стороны на 2, мы получим n² = 2k².

В чем смысл всех этих алгебраических преобразований? Просто показать, что n² равно двум k², а значит, это число четное. Но если n² четное число, тогда и само n должно быть четным, так же как и m. Но это означает, что утверждение F истинно. Выдвинув гипотезу H, мы пришли к ошибочному и даже абсурдному выводу, что утверждение F истинно и ложно одновременно. Следовательно, гипотеза H должна быть ошибочной. Квадратный корень из 2 – это не рациональное число. Предположив, что оно является таковым, мы доказали, что это не так. На самом деле довольно странный прием, но он работает.

Проверку значимости нулевой гипотезы можно представить как несколько размытую версию доказательства от противного:

• предположим, нулевая гипотеза Н истинна;

• из гипотезы Н вытекает, что некий результат О очень маловероятен (скажем, не превышает порог Фишера 0,05);

• однако результат О был установлен посредством наблюдений;

• следовательно, вероятность Н крайне мала.

Другими словами, мы имеем здесь не доказательство от противного, а доказательство от маловероятного.

Классический пример такого доказательства привел астроном и священник XVIII столетия Джон Митчелл, который одним из первых использовал статистический подход к изучению небесных тел{115}. За скоплением тусклых звезд в одном углу созвездия Тельца наблюдала едва ли не каждая цивилизация. В племени навахо это скопление называют Dilyehe, «Сверкающая фигура», в племени маори – Matariki, «Глаз Бога». Для древних римлян это была гроздь винограда, у японцев это Subaru (если вдруг вам интересно, почему на логотипе компании изображено шесть звезд). Мы называем это звездное скопление Плеядами.

Столетия наблюдений и мифотворчества не смогли ответить на фундаментальный научный вопрос: действительно ли это звездное скопление является скоплением? Или эти шесть звезд разделены недоступными пониманию расстояниями и просто случайно расположены почти в одним и том же направлении от Земли? Точки света, в случайном порядке размещенные в нашем поле зрения, выглядят примерно так{116}:

Вы видите здесь несколько групп, не так ли? Этого следовало ожидать: неизбежно формируются группы звезд, как будто почти взгромоздившихся друг на друга по воле случая. Как можно быть уверенными в том, что это не происходит с Плеядами? Это тот же феномен, на который обратили внимание Гилович, Валлон и Тверски: разыгрывающий игрок, который отличается высоким постоянством игры без взлетов и падений, время от времени все же делает по пять результативных бросков подряд.

На самом деле, если не было бы больших видимых скоплений звезд (как на представленном ниже рисунке), это само по себе свидетельствовало бы о том, что здесь действует некий неслучайный процесс. Второй рисунок может показаться невооруженному глазу более хаотичным, но на самом деле это не так: он показывает, что этим точкам присуща склонность избегать образования скоплений.