Как не ошибаться. Сила математического мышления

Существует такая вещь, как избыточная точность. Модели, которые используются для подсчета результатов SAT, позволяют рассчитать средний балл SAT с точностью до нескольких десятичных знаков – если мы решили бы это сделать. Но мы не станем так поступать: ученики и без того волнуются, поэтому не нужно умножать их беспокойство по поводу того, что кто-то из одноклассников опережает их на сотую долю процента.

Преклонение перед абсолютной точностью сказывается и на выборах, причем не только в период лихорадочного отслеживания результатов опросов, но и после их проведения. Если вы помните, в 2000 году выборы в штате Флорида завершились с разницей в несколько сотен голосов между Джорджем Бушем-младшим и Альбертом Гором, что составляло сотую долю процента от общего количества голосов. Согласно нашему законодательству и обычаю было крайне важно определить, кто из кандидатов может претендовать на превосходство в несколько сотен голосов. Однако если нам нужно обсудить тему: кого жители Флориды хотели бы видеть своим президентом, – эти подсчеты не имеют никакого смысла. Возникающая из-за испорченных, потерянных и неправильно подсчитанных избирательных бюллетеней неточность гораздо больше той микроскопической разницы между окончательными результатами голосования. Мы не знаем, кто получит больше голосов во Флориде. Разница между судьями и математиками состоит в том, что судьям приходится постоянно корчить из себя людей знающих, тогда как математики могут говорить правду.

Журналист Чарльз Сейфе включил в свою книгу Proofiness («Доказательность») очень забавный и немного удручающий рассказ об аналогичном случае упорной борьбы между демократом Элом Франкеном и республиканцем Нормом Коулманом за право представлять штат Миннесота в сенате США. Было бы замечательно заявить о том, что Франкен занял пост сенатора благодаря тому, что беспристрастная методика анализа показала, что на 312 больше избирателей Миннесоты хотят видеть его в верхней палате. Однако на самом деле это число представляет собой результат длительной юридической тяжбы по поводу того, можно ли считать поданным бюллетень с отметкой возле фамилии Франкена и надписью «Люди-ящеры». Когда дело доходит до такого, вопрос, кто «на самом деле» получил больше голосов, не имеет смысла. Сигнал потерялся в шуме. Я склонен стать на сторону Сейфе, который утверждает, что выборы с настолько близкими шансами кандидатов на победу можно проводить посредством подбрасывания монеты[333]. Кто-то не примет идею о случайном выборе наших лидеров. Однако в этом и есть самое важное преимущество подбрасывания монеты! Выборы с почти равными шансами на победу и без того зависят от воли случая. Плохая погода в большом городе, взломанная машина для голосования в далеком городке, некорректное оформление избирательного бюллетеня, из-за которого пожилые евреи голосуют за Пэта Бьюкенена, – любое из этих случайных событий может иметь значение, если голоса избирателей разделены примерно 50 на 50. Выбор посредством подбрасывания монеты позволяет не делать вид, будто люди высказались в поддержку кандидата, победившего в упорной борьбе при почти равных шансах. Иногда все, что говорят люди, – это «Я не знаю»{301}.

Вы можете подумать, что я действительно испытываю пристрастие к десятичным знакам. У стереотипа, будто математики всегда во всем уверены, есть неразрывно связанный с ним брат-близнец – это стереотип, будто мы всегда стремимся к максимальной точности, упорно пытаясь вычислять все до как можно большего количества десятичных знаков. Но это не так. Мы стремимся вычислять все до необходимого количества десятичных знаков. В Китае есть молодой человек по имени Лу Чао, который выучил и воспроизвел 67 890 цифр числа π. Это впечатляющее достижение в области запоминания. Но любопытно ли это? Нет, потому что сами по себе цифры числа π не представляют никакого интереса. Насколько нам известно, они ничем не лучше случайных цифр. А вот само число π, вне всякого сомнения, представляет большой интерес. Однако число π – это не его цифры; оно просто определяется цифрами, точно так же как Эйфелеву башню определяют координаты 48,8586 градуса северной широты и 2,2942 градуса восточной долготы. Можете прибавить сколько угодно десятичных знаков к этим числам – они все равно не скажут вам, что делает Эйфелеву башню Эйфелевой башней.

Проблема избыточной точности касается не только цифр. Бенджамин Франклин весьма язвительно писал о члене своей филадельфийской группы Томасе Годфри: