Читаем Как не ошибаться. Сила математического мышления полностью

Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить: «под X мы понимаем Y». С некоторыми оговорками… верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «как определить 1 - 1 + 1 - 1 + …?», а «что есть 1 - 1 + 1 - 1 + …?»; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую носившим, по существу, чисто словесный характер[48].

И это не просто непринужденный математический релятивизм. Тот факт, что мы можем придать какой угодно смысл той или иной последовательности математических символов, совсем не означает, что нам следует это делать. В математике, как и в жизни, есть как хороший, так и плохой выбор. В математическом контексте правильным считается выбор, позволяющий устранить ненужные затруднения, не создавая новых.

Чем больше членов ряда вы суммируете, тем ближе сумма 0,9 + 0,09 + 0,009 + … приближается к 1. И эта сумма никогда не превысит данное значение. Какое бы плотное оцепление мы ни устроили вокруг числа 1, в конце концов эта сумма после определенного конечного количества шагов пройдет сквозь него, но так и не выйдет наружу с другой стороны. По утверждению Коши, при таких обстоятельствах нам следует просто установить значение бесконечной суммы равным 1. Затем он приложил немало усилий, чтобы доказать, что установление такого значения не приводит к появлению глубоких противоречий где бы то ни было. К моменту окончания своей работы Коши создал понятийный аппарат, сделавшим исчисление Ньютона абсолютно строгим. Когда мы говорим, что в локальном масштабе под определенным углом кривая напоминает прямую линию, то под этим подразумевается примерно следующее: по мере увеличения масштаба эта кривая все больше напоминает прямую линию. В формулировке Коши нет необходимости ссылаться на бесконечно малые числа или любое другое понятие, которое заставило бы скептика побледнеть.

Разумеется, этому есть своя цена. Трудность задачи с числом 0,999… объясняется тем, что она вступает в конфликт с нашим внутренним чутьем. С одной стороны, нам хотелось бы, чтобы сумму бесконечного ряда можно было получить посредством арифметических манипуляций, подобных тем, которые представлены на предыдущих страницах, а в этом случае такая сумма должна быть равной 1. С другой стороны, мы желали бы, чтобы каждое число было представлено в виде уникальной цепочки десятичных цифр, что противоречит утверждению: одно и то же число можно назвать либо 1, либо 0,999… – как нам больше нравится. Мы не можем удовлетворить оба этих желания одновременно – от какого-то из двух придется отказаться. Согласно подходу Коши, который в полной мере доказал свою состоятельность за два столетия, прошедшие с тех пор, как он сформулировал этот подход, отбросить следует именно уникальность разложения на десятичные дроби. Нас не смущает тот факт, что в английском языке две разные цепочки букв (то есть два слова) порой используются для синонимичного обозначения одной и той же вещи; точно так же нет ничего плохого и в том, что разные последовательности цифр могут обозначать одно и то же число.

Перейти на страницу:

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное