Как не ошибаться. Сила математического мышления

Будем откровенны: именно это и происходит на большинстве наших математических курсов. Сокращенная история споров (сама представляющая собой предмет споров) состоит в том, что преподавание математики детям вот уже несколько десятилетий является ареной так называемых математических войн. По одну сторону этого противостояния находятся учителя, которые предпочитают делать акцент на запоминании, беглости, традиционных алгоритмах и точных ответах, а по другую сторону – учителя, считающие, что в основе преподавания математики должно лежать выяснение смысла, развитие способов мышления, обучение методом направляемых открытий и аппроксимация. Первый подход называют порой традиционным, а второй – реформистским, хотя предположительно нетрадиционный подход к обучению посредством открытий используется в той или иной форме вот уже десятки лет, а действительно ли так называемые реформы можно считать реформами – это и есть предмет споров. Споров весьма ожесточенных. Во время званого математического ужина вполне прилично обсуждать политические или религиозные вопросы, но начните спорить о математической педагогике – и это грозит закончиться тем, что кто-то из сторонников либо традиционного, либо реформистского подхода обидится и хлопнет дверью.

Я не причисляю себя ни к одному из этих лагерей. Мне не по пути с теми реформистами, которые хотят отказаться от заучивания таблицы умножения наизусть. В процессе серьезных математических размышлений вам неизбежно понадобится умножить 6 на 8, но, если каждый раз для этого доставать калькулятор, вам не удастся достичь того состояния интеллектуальной спонтанности, которая требуется для процесса размышлений. Нельзя написать сонет, выискивая в словаре значение каждого слова.

Некоторые сторонники реформистского подхода заявляют, что классические алгоритмы (например, «сложить два двузначных числа, расположив одно над другим столбиком и в случае необходимости выполнив перенос») следует исключить из учебного курса, чтобы они не мешали ученикам самостоятельно обнаруживать свойства математических объектов[57].

С одной стороны, я считаю эту мысль ужасной: такие алгоритмы представляют собой полезные инструменты, над разработкой которых кто-то упорно работал, и нет никаких оснований начинать все с нуля.

С другой стороны, мне кажется, что в современном мире вполне можно отказаться от некоторых алгоритмов. Например, нам нет необходимости учить студентов извлекать квадратные корни вручную или в уме (хотя второй из этих двух навыков, говорю вам по собственному опыту, можно использовать в качестве замечательного фокуса на вечеринке в кругу яйцеголовых). Калькулятор – не менее полезный инструмент, над созданием которого кто-то упорно трудился; мы также должны использовать этот инструмент, когда того требует ситуация! Меня даже не интересует, могут ли мои студенты разделить 430 на 12 посредством деления столбиком. Меня на самом деле волнует лишь одно: они должны мысленно определить, что ответ немногим больше 35 – тогда я буду спокоен, что у них прекрасно развиты арифметическое мышление и представление о числах.