Истина в пределе

В качестве основного понятия анализа бесконечно малых Коши предложил понятие предела, которое определил так: «Когда последовательные значения переменной бесконечно приближаются к конкретному значению так, что в итоге отличаются от него на произвольно выбранную величину, последнее значение называется пределом остальных».

Используя понятие предела, Коши определил бесконечно малые как переменные, которые стремятся к нулю: «Когда последовательные значения переменной бесконечно уменьшаются так, что становятся меньше любой заданной величины, эта переменная называется бесконечно малой. Предел таких переменных равен нулю».

Он также ввел понятие предела последовательности, которое с дополнениями Вейерштрасса используется и сейчас. Коши также установил, что можно говорить о сумме ряда лишь в том случае, когда он сходится, и определил ее как предел последовательности частичных сумм ряда.

На пятистах страницах «Курса анализа» также приводятся определения непрерывной функции, комплексного числа, формулируются критерии сходимости рядов и так далее.

Работы Коши о сходимости рядов вызвали большое возбуждение. Рассказывают, что после собрания Французской академии наук, где ученый изложил свои идеи о сходимости рядов, обеспокоенный Лаплас заперся у себя дома и не выходил, пока не проверил, что все ряды, использованные им в «Небесной механике», сходятся, и лишь тогда вздохнул с облегчением.

Коши планировал, что «Курс анализа» будет состоять из двух томов, но неблагоприятные отзывы заставили его отказаться от написания второго тома. Суть критики сводилась к тому, что книга, по мнению руководства Политехнической школы, не подходила для образования будущих инженеров. Поэтому Коши решил пересмотреть идею о публикации второго тома и вместо этого выпустил дополнение к «Курсу анализа», представлявшее собой краткое изложение его лекций. Первый том увидел свет в 1823 году под названием «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых», где давалось современное определение производной как предела

когда h стремится к 0.

КОШИ: СТРОГОСТЬ ПРЕВЫШЕ ВСЕГО

Огюстен Луи Коши родился в 1789 году, спустя несколько месяцев после начала Великой французской революции. Он занимает почетное место среди ведущих математиков первой половины XIX века. Благодаря ему был сделан значимый шаг в сторону большей логической строгости математических рассуждений. Так, в статье Энциклопедии Британника о нем сказано: «Коши был одним из величайших математиков современности. Одним из наиболее значительных его достижений является четкость и строгость введенных им методов. Первый этап логической строгости, характерной для современной математики, берет начало в его лекциях и книгах по математическому анализу, написанных в 1820-1830 годах». Также всегда указывается, что он был разносторонне образованным человеком и интересовался классическими языками. Он был ревностным католиком и яростно защищал право Бурбонов на французский престол, дарованное Богом. «Его коллеги часто упрекали его в непреклонном ханжестве и агрессивном религиозном фанатизме»,- говорится об этом в уже упомянутой Энциклопедии Британника. Он был преподавателем Политехнической школы и членом Французской академии наук. По политическим мотивам ему пришлось покинуть Францию на период с 1830 по 1838 год. Умер Коши в 1857 году.

^{Французская марка, выпущенная в честь 200-летия со дня рождения Коши.}

В «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» также приводится определение интеграла непрерывной функции

как предела сумм Коши:

где a < х₁ < х₂ < … < x_n-1 < b — разбиение интервала [а, b], а искомый интеграл рассчитывается как предел при разбиении интервала на отрезки, длины которых стремятся к 0.