Истина в пределе

Д’Аламбер во французской Энциклопедии дает примитивное определение предела, на которое Коши опирался при разработке фундамента математического анализа: «Одна величина называется пределом второй, если вторая может приблизиться к первой настолько, что будет отличаться от нее менее, чем на любую данную величину, но никогда не будет совпадать с ней». В своей статье о дифференциалах для этой же энциклопедии Д’Аламбер указал путь к четкому определению исчисления: «Ньютон использовал другой принцип, и можно сказать, что метафизика этого великого математика об исчислении флюксий очень точна и ясна, несмотря на то что допускает несовершенное толкование его мыслей. Я никогда не рассматривал дифференциальное исчисление как изучение бесконечно малых величин, но как метод первых и последних рассуждений, или, что есть одно и то же, метод нахождения пределов рассуждениям. Кто-то может счесть, что допущение бесконечно малых величин необходимо лишь для сокращения и упрощения рассуждений, но дифференциальное исчисление необязательно предполагает существование подобных величин. Более того, это исчисление заключается лишь в алгебраическом определении пределов рассуждения».

^{Мраморная статуя французского философа и математика Д’Аламбера.}

^{Карл Маркс проявлял большой интерес к построению фундамента математического анализа.} 

Совершенно иным путем следовал Лагранж, который в своей книге «Теория аналитических функций», опубликованной в 1797 году, определил производную f’(x) функции f(х) в точке x как коэффициент при h в разложении в степенной ряд функции f(x + h). Именно Лагранж ввел термин «производная» и первым стал обозначать производную функции f знаком апострофа — f’. К сожалению, его усилия оказались безуспешными и завершились неудачей, поскольку, как позднее показал Коши, функция f необязательно совпадает со степенным рядом, полученным на ее основе.

Стоит отметить, что работы Лагранжа по построению фундамента математического анализа очень ценил философ Карл Маркс, основатель марксизма. Маркс даже написал несколько трудов о производных и интегралах (1863—1883), однако в этот период уже появились работы Вейерштрасса, в которых была сформирована прочная основа математического анализа. Маркс рассматривал три этапа развития исчисления: мистическое дифференциальное исчисление Лейбница и Ньютона, рациональное дифференциальное исчисление Д’Аламбера и чисто алгебраическое исчисление Лагранжа. О математиках первого этапа он писал: «Они сами определили загадочный характер недавно открытого исчисления, что привело к получению верных результатов с помощью определенно ошибочных математических преобразований». К Д’Аламберу и Лагранжу он относился более снисходительно: «Д’Аламбер, лишив дифференциальное исчисление мистической завесы, совершил огромный шаг вперед. <…> Лагранж взял за основу теорему Тейлора, которая является наиболее общей и широкой, и в то же время описывает рабочую формулу дифференциального исчисления».

Огюстен Коши

В первой половине XIX века был окончательно сформирован четкий фундамент анализа бесконечно малых. Решение этой задачи начал Коши, а завершил Вейерштрасс. Значимый вклад также внес Бернард Больцано своими работами о непрерывных функциях, которые выходят за рамки этой книги.

Коши удалось создать математическое течение, целью которого было добиться большей строгости доказательств. Это течение стало основополагающим для математики XIX века.

Эту точку зрения он пытался донести до своих учеников в Политехнической школе, где преподавал с 1817 по 1830 год, а также излагал в своих работах. Основными его трудами, о которых мы упомянем, были «Курс анализа» (1821) и «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823).

«Курс анализа» был ответом Коши на критику со стороны его коллег по ученому совету Политехнической школы, высказанную в адрес его методики преподавания механики и анализа студентам первого года обучения. Во введении он явно указывает цель своей работы: «Я попытался изложить методы, требуемые геометрией, никогда не обращаясь к аргументам, следующим из общности алгебры. Рассуждения такого типа, которые иногда допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных величин к мнимым, лишь указывают путь к истине и не связаны с точностью, которой должна гордиться математика». «Общность алгебры», о которой упоминает Коши, означает признанный всеми с конца XVI века факт, согласно которому все, что верно для вещественных чисел, так же верно и для комплексных; все, что верно для конечных величин, применимо и к бесконечным; все, что верно для сходящихся рядов, верно и для расходящихся.