Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Обсуждая решение Шварцшильда, мы отмечали, что это внешнее вакуумное решение, которое может быть в равной степени связано как с черной дырой, так и с обычной регулярной звездой. Тогда что получается, если в обоих случаях решение характеризуется одним и тем же параметром m, то обе системы будут иметь одну и ту же полную энергию mc²? Так и есть. Несмотря на принципиально различную внутреннюю структуру, и обычная звезда, и черная дыра будут иметь одинаковую энергию. Если в случае звезды можно получить эту же полную энергию интегрированием по всему объему без принципиальных трудностей, то в случае с черной дырой они неизбежно возникнут в силу нетривиальной геометрической структуры, связанной с наличием горизонта событий и сингулярности.

Таким образом, эйнштейновское «погружение в галилеевское пространство» и интегрирование по удаленной окрестности элегантно решает проблему определения глобальной энергии (и других сохраняющихся величин) для таких объектов, как черные дыры.

Для определения глобальных сохраняющихся величин удаленное фоновое пространство-время не обязательно должно быть плоским, оно также определяется характером конкретных моделей и задач. Будучи искривленным, оно может иметь симметрии, используя которые можно построить соответствующие сохраняющиеся величины.

В последнее время большое внимание уделяется так называемым квазилокальным характеристикам, например, квазилокальной энергии, которые рассчитываются для конечного объема. Уравнения ОТО устроены так, что позволяют связать динамику гравитационного поля, вещества и материальных полей внутри объема с поведением метрики на границе. Тогда оказывается, что если граничные условия для метрики и ее производных на границе объема заданы (известны), то можно определить сохраняющиеся величины для всего объема.

Рассказывая о законах сохранения, нельзя не упомянуть выдающегося немецкого математика Эмми Нётер (1882–1935).

Рис. 11.2. Эмми Нётер

С ее именем связаны различные разделы математики, она является основателем нового направления – абстрактной алгебры. Но для физиков ее имя прежде всего связано с законами сохранения, построение которых основано на универсальных принципах, сформулированных и опубликованных в 1918 году. Особо важны теоремы Нётер при анализе и развитии теорий, имеющих внутренние группы симметрий, которым соответствуют разного вида сохраняющиеся заряды. Именно эти теории представляют строение материи во всем ее многообразии.

Что касается ОТО, то искривленное пространство-время, как правило, не имеет симметрий. Поэтому нельзя, пользуясь теоремами Нётер, представить глобальные сохраняющиеся величины в общем случае. Однако ОТО инвариантна относительно общего вида координатных преобразований, здесь использование ее принципов вполне продуктивно. Результатом оказываются локальные законы сохранения – обобщенные уравнения непрерывности (см. Дополнение 2).

Энергия замкнутой Вселенной. Рождение из «ничего»

Поскольку существует такая сила как гравитация, Вселенная могла и создала себя из ничего.

Стивен Хокинг

Мы дали представление как посчитать энергию гравитационных волн и изолированных объектов, то есть наиболее востребованных в исследованиях физических систем. Но можно ли посчитать энергию всей Вселенной? Для открытых миров обычно дается ответ, что ее нельзя определить корректно, либо, что она бесконечна. А вот для замкнутых миров есть вполне определенный ответ. Давайте проведем расчет в замкнутом мире с помощью квазилокальной техники. Окружим себя сферой какого-либо радиуса, зададим граничные условия, которые будут регулярными (конечными), и, проинтегрировав соответствующее выражение по сфере, определим полную энергию материи и гравитационного поля внутри. Увеличим радиус и снова определим энергию уже внутри большего объема, и т. д. Чтобы определить энергию всей Вселенной нужно интегрировать по сфере, охватывающей всю Вселенную. А это противоположный полюс (точка), площадь такой сферы нулевая, и, следовательно, интегрирование по ней даст только нуль.