Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

А теперь дадим еще одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно-временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривленными. В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.

Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3-мерном пространстве. Мировая линия – это путь на пространственной-временной диаграмме, траектория – это след, который оставляет зверек в зимнем лесу.

Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмем любую мировую точку вне конуса, скажем B, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s² = c²t² – x_В² будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B', поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.

При лоренцевых вращениях в силу инвариантности все интервалы сохранят свои значения, а значит и тип, к которому относятся. То есть все мировые точки, которые были внутри конуса, там и останутся, то же относится к точкам вне конуса. Интересным является поведение светового конуса при таких вращениях. Поскольку скорость света во всех инерциальных системах отсчета одинакова, то угол светоподобных отрезков не изменится (!), а это значит, что световой конус останется на месте.

На рис. 5.3 световой конус после лоренцева вращения не изменил своего положения, он относится как к покоящейся системе отсчета с нештрихованными координатами, так и к движущейся – со штрихованными.

Теперь определим еще одно важное понятие. Если для интервала между двумя событиями s² >= 0, то эти события могут быть соединены мировой линией, которая отвечает реальной частице или лучу света. Такие два события называют причинно связанными.

Если для интервала между двумя событиями s² 0, то как бы мы не соединяли эти мировые точки непрерывными линиями, найдутся участки, где наклон касательной превышает наклон светового конуса. Такая линия не может быть отнесена к мировой линии какой-либо реальной частицы, а события, для которых s²  0, называют причинно несвязанными.

Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмем отрезок на временной оси от начала координат до момента t, квадрат его интервала – s² = c²t². Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой-либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки A, рис. 5.4). Его квадрат интервала – это s² = c²t²– x_A². Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше, чем интервал вертикального для одинакового значения t!

Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал – это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчета (наклонный отрезок) течет медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t'₂ движущихся часов меньше времени t₂ покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет еще меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.

В заключение перечислим основные понятия, определенные только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:

• метрическое пространство – множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

• мировая точка или событие – точка на диаграмме пространства Минковского (в 4-мерном пространстве-времени);

• мировая линия – совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

• пространство Минковского – псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой;