Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе K, будем отслеживать ход часов в системе K', которые находятся в точке x'. Для нас часы в системе K идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K' можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что x' = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t₁' = t₁ = 0. Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t₂ (а для системы K' – t₂'). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем  . Как видно, показания часов в нашей системе K будут больше, чем в K', хотя в обоих случаях отсчет начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.

На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое – пространственно-временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность – протяженность и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная – со знаком «минус».

Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных – временная часть превосходит пространственную, и они называются времениподобными. Нулевые соответствуют распространению света и называются светоподобными; совокупность светоподобных, представляющая распространение световых лучей из какой-либо мировой точки, образует, так называемый, световой конус в пространстве Минковского. На рис. 5.4 такой световой конус относится к началу координат и делит пространство-время на две части: внутри и вне конуса. Наконец, для отрицательных квадратов интервалов, пространственная часть превышает временную, и они называются пространственноподобными.

Для нас более интересны времениподобные интервалы. Почему? Отрезок прямой 0A, соединяющий мировую точку внутри конуса и начало координат на рис 5.4 вполне можно интерпретировать как путь материальной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно. Скорость ее меньше скорости света, и поэтому путь находится внутри конуса. Квадрат интервала между точкой А и началом координат s² = c ²t ² – xА²  – положительный, и это относится ко всем мировым точкам внутри конуса, скажем A'. Наклон соответствующих отрезков пути меньше, чем у светового конуса. Если бы мы попытались интерпретировать отрезки пути с наклоном больше, чем у светового конуса, как путь материальной частицы, то нужно было бы говорить о скоростях больших скорости света. Но для материальной частицы это невозможно, мы об этом еще скажем.

Рис. 5.4. Интервалы в пространстве Минковского

Продолжим обсуждение времениподобных интервалов. На рис. 5.4 отрезок на временной оси, скажем, от начала координат до точки ct, определяет, конечно, такой интервал. В чем его смысл? Он соответствует наблюдателю, который покоится в этой инерциальной системе отсчета, а соответствующий интервал определяет промежуток времени жизни наблюдателя между этими событиями: s = ct. После лоренцева вращения этот отрезок станет наклонным. (Другими словами: в другой инерциальной системе этот наблюдатель будет двигаться прямолинейно и равномерно.) Однако, в силу лоренц-инвариантности значение интервала для этого отрезка не изменится, хотя примет другое выражение: s = (c²t'² – x'²)^1/2. Это позволяет сделать важный вывод, давайте его зафиксируем:

Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: =s/c. Еще и поэтому такие интервалы называют времениподобными.

Перейдем к обсуждению светоподобных интервалов. Отрезок прямой 0C на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движущего прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые x = ct и x = – сt. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой C: s² = c²t ² – x_с² = 0, или между началом координат и точкой C', или между точками C и C' и т. д.