Головоломки профессора Головоломки

Он все поддразнивал меня, Васька, а мне и крыть нечем: обманул он меня – факт.

Новый фокус

Васька придумал новую штуку. Он пришел ко мне и говорит:

– На этой бумажке я написал число; оно не меньше одного и не больше пятидесяти. Ты не гляди и клади эту бумажку в карман.

Я спрятал его бумажку.

– Так. Теперь возьми, другой клочок бумаги и напиши на нем какое хочешь число от 50 до 99 так, чтобы я не видел. Сейчас я скажу тебе одно число. Ты прибавишь его к своему числу, зачеркнешь первую цифру результата слева, зато прибавишь ее к тому, что у тебя получится.

Он сказал мне число 76.

Я взял то число, которое написал на бумажке, – 86 и прибавил к нему 76. У меня получилось 162.

Ничего не говоря Ваське, я зачеркнул первую цифру – у меня получилось число 62.

К этому числу я прибавил зачеркнутую цифру 1 и получил 63.

– Сделал, – говорю я Ваське.

– Ладно, вычти теперь свой результат из того числа, что задумал.

Я вычел: 86–63=23.

– Теперь, – говорит Васька, – погляди, что написано в моей бумажке.

Я поглядел. На ней тоже стояло 23!

– Как ты это сделал, Вася?

– Это я могу тебе рассказать только под большим секретом, на ушко, чтобы не знали другие ребята.

И он сказал мне вот что:

– Я написал число 23, и ты спрятал его в карман. Ты задумал свое число, которого я не знаю. Тогда я сказал тебе: возьми 76 и прибавь к своему числу. Число 76 я взял не наугад, в этом вся хитрость. Я вычел написанное мною число 23 из 99 и получил 76. Если бы я написал на бумажке не 23, а, скажем, 40, я велел бы тебе сложить с твоим числом не 76, а 99–40, т. е. 59, и потом в ответе у тебя получилось бы 40, сколько бы ты ни задумал. Вот смотри: пусть ты задумал 92. Я тебе говорю: прибавь 59. Ты прибавляешь – получаешь 151. Теперь зачеркиваешь первую цифру слева – получаешь 51. Прибавляешь зачеркнутую цифру – получаешь 52. Вычитаешь этот результат из задуманного тобой числа: 92–52=40.

Опять пять

– Задумай какое хочешь число. Прибавь к нему следующее по порядку. Добавь к результату 9. Раздели на 2. (Считай только целые числа.) Вычти теперь задуманное число. Ага, а я знаю, сколько ты получил!

– Сколько?

– Пять.

– Ну, хорошо, теперь я задумал другое число.

– Ладно. Прибавь к нему следующее. Добавь к результату 9. Раздели на 2. Вычти задуманное число. Опять пять?

– Опять пять! Ну, погоди, сейчас я удеру от пятерки Я задумал число 444 444.

– Ладно. Прибавь к нему следующее!

– 444 444 + 444 445 = 888 889

– Добавь к результату 9.

– 888 889 + 9 = 888 898.

– Раздели на 2.

– 888 898: 2 = 444 449.

– Вычти задуманное число.

– 444 449–444 444 = 5.

– Опять пять?

– Да, опять и опять ПЯТЬ!

Без умножения

– Уж я теперь все твои отгадки знаю, – говорю я Васе. – Разделить да помножить, вычесть да прибавить – так угадывать не хитро. Ты загадаешь 100, я тебе скажу: раздели на 10; сколько получилось? Десять я помножу на 10 – вот тебе и отгадка

– А я без всякого умножения могу, – говорит Вася. – Вот задумай число меньше 60.

– Задумал.

– Раздели его на 3. Сколько в остатке?

– Один.

– Теперь раздели свое число на 4. Сколько в остатке?

– Два.

– Теперь раздели его на 5. Сколько в остатке?

– Один.

Вася подумал минутку и говорит:

– Вот у меня и готово. Ты загадал 46.

– А почем ты знаешь?

– Секрет один есть. Сказать?

– Нет, давай еще раз. Может, сам угадаю. Ну, я загадал.

– Дели на 3. Сколько в остатке?

– Нет остатка.

– Дели на 4

– Нет остатка.

– Дели на 5.

– Нет остатка.

– Ты загадал 0.

Все-таки мне самому не удалось разгадать секрет. Но Вася мне все рассказал:

– Правило очень простое. Я беру сорок твоих первых остатков, сорок пять вторых остатков, тридцать шесть третьих остатков, складываю их и делю сумму на 60. И получаю в остатке твое число. Вот смотри:

Ты загадал 46. Делишь на 3 – в остатке 1; на 4 – в остатке 2; на 5 – в остатке 1.

Я и беру сорок первых остатков:

40 × 1 = 40,

сорок пять вторых остатков:

45 × 2 = 90,

тридцать шесть третьих остатков:

36 × 1 = 36.

Теперь складываю:

40 + 90 + 36 = 166

и делю на 60:

166: 60 = 2 и 46 в остатке.

Сумма нечетных

– Можешь ты в одну минуту сказать мне, какова будет сумма всех нечетных чисел до девятнадцати включительно? – спросил меня Вася.

Я взял карандаш и стал писать.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Но только я начал складывать, Вася сказал:

– Ну, ты уже опоздал. Попробуй еще раз, только поживей. Какова будет сумма всех нечетных чисел до сорока девяти включительно?

– Нет, – махнул я рукой, – это долго считать, не успею.

Вася рассмеялся и говорит:

– Вот черепаха! Смотри, как это просто. Нужно только к последнему (заданному) нечетному числу прибавить 1, сумму разделить на 2, а полученное помножить на самое себя. Например:

49 + 1 = 50,

50: 2 = 25,

25 × 25 = 625.

Это и есть сумма всех чисел до сорока девяти включительно. Ну-ка, вычисли теперь сумму всех нечетных до тридцати одного!

– Ладно, – ответил я.

31 + 1 = 32,

32: 2 = 16,

16 × 16 = 256.

– Вот и все, – сказал Вася.

Копейка и гривенник [2]

– Скажи, есть у тебя гривенник?

– Есть.