Физика в примерах и задачах

Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передаётся зеркалу. При W>>mc^2 практически вся энергия волны передаётся зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, mc^2/2. Подчеркнём ещё раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!

Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: W^2. В этом нерелятивистском случае формулы (6) и (8) можно упростить. В знаменателе выражения (6) можно вторым слагаемым в скобках пренебречь по сравнению с единицей, а в числителе при возведении скобки в квадрат следует сохранить удвоенное произведение, ибо единицы взаимно уничтожаются. В результате получаем

v

c

2W

mc^2

.

(9)

Так как при x1 справедлива приближённая формула (1+x)^-11-x то выражение (8) при W^2 можно привести к виду

W

W

=

W-W

W

2W

mc^2

.

(10)

Из этих соотношений видно, что в этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему лишь ничтожную часть своей энергии. Поэтому «фотонный парус» может быть эффективным только тогда, когда энергия падающей на него волны сравнима с его энергией покоя.

6. Фотоэффект и рентгеновское излучение.

На шарик электрометра падает рентгеновское излучение. Угол отклонения стрелки перестаёт изменяться, когда разность потенциалов между шариком электрометра и землёй достигает значения U=8 кВ. Какова длина волны падающего рентгеновского излучения? Какое напряжение V подано на электроды рентгеновской трубки?

Прежде всего выясним, откуда берётся заряд на шарике электрометра. Если электрометр предварительно не был заряжен, то единственная причина появления зарядов - фотоэффект, вызываемый рентгеновским излучением. При выбивании электронов шарик прибора заряжается положительно. Однако с ростом заряда на шарике увеличивающееся электрическое поле не даёт выбитым электронам возможности улететь, если их кинетическая энергия недостаточно велика. С учётом тормозящего действия возникающего электрического поля уравнение Эйнштейна, т.е. закон сохранения энергии для элементарного акта фотоэффекта, запишется в виде

h

=

A

+

mv^2

2

+

eU

.

(1)

В этом выражении A - работа выхода электрона из материала шарика электрометра, v - скорость вылетевшего электрона на большом расстоянии от шарика, U - разность потенциалов между шариком электрометра и землёй, e - абсолютная величина заряда электрона.

Очевидно, что увеличение заряда шарика будет продолжаться до тех пор, пока его потенциал не достигнет такого значения, при котором все выбитые электроны будут возвращаться на электрометр. Другими словами, U в правой части уравнения (1) достигает максимального значения, когда скорость выбитого электрона v на бесконечности обращается в нуль.

Таким образом, при заданной частоте рентгеновского излучения установившееся значение напряжения U на электрометре определяется соотношением

h

=

A

+

eU

.

(2)

Из уравнения (2) мы могли бы определить частоту падающего рентгеновского излучения но известному напряжению U, если бы мы знали работу выхода A. Однако в условии задачи не указано, из какого материала сделан шарик электрометра, но совершенно ясно, что он металлический. Характерное значение работы выхода электронов из металлов составляет несколько электрон-вольт (например, для серебра 4,7 эВ). Между тем заданное значение напряжения на электрометре равно 8 кВ, т.е. второй член в правой части уравнения (2) примерно на три порядка больше первого. Поэтому можно пренебречь величиной A по сравнению с eU. В результате получаем

h

=

eU

.

(3)

откуда для длины волны рентгеновского излучения находим

=

c

=

ch

eU

.

Подставляя числовые значения, получаем 1,5·10^-10 м = 0,15 нм. Разумеется, что это есть граничное, наименьшее возможное значение длины волны. При этом в спектре рентгеновского излучения могут присутствовать и большие длины волн, причём любой интенсивности.

Для ответа на второй вопрос задачи остаётся выяснить, каким должно быть напряжение на электродах рентгеновской трубки для того, чтобы найденная нами длина волны была бы наименьшей в излучаемом спектре.