Физика в примерах и задачах

14. Возбуждение волн в струне.

Рис. 14.1. Конец струны приводится в движение по гармоническому закону

Конец натянутой упругой струны приводится в гармоническое колебательное движение с амплитудой A и частотой с помощью устройства, схема которого показана на рис. 14.1. Какую мощность развивает двигатель, приводящий его в движение? Во что превращается затраченная энергия? Что происходит на другом конце струны? Каким образом можно добиться того, чтобы там не происходило отражения волны?

Рис. 14.2. Со стороны стержня на конец струны действует сила F

Для того чтобы описать вынужденное движение струны, введём оси координат x и z так, как показано на рис. 14.2: ось z совпадает с равновесным положением струны, а ось x направлена вдоль стержня, приводящего конец струны в движение. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы смещение левого конца струны давалось выражением

x(t)

=

A

cos t

.

(1)

Вынужденные колебания левого конца струны приводят к появлению в струне упругой волны, распространяющейся направо вдоль оси z. Скорость u такой волны, как было выяснено в предыдущей задаче, зависит от предварительной силы натяжения струны F, плотности материала струны р и площади её поперечного сечения S:

u^2

=

F

S

.

(2)

При распространении волны поперечное смещение x любой точки струны, имеющей в равновесии координату z, повторяет движение левого конца спустя промежуток времени z/u, который требуется для того, чтобы волна распространилась на расстояние z:

x(z,t)

=

x(0,t-z/u)

=

A

cos (t-z/u)

(3)

Для того чтобы найти развиваемую двигателем мощность, нужно знать силу F, с которой стержень действует на левый конец струны. Струна действует на стержень с равной по модулю и противоположной по направлению силой F (рис. 14.2). Для гибкой струны, проявляющей упругие свойства только при деформации растяжения, сила натяжения в любой точке направлена по касательной. Поэтому действующая на стержень сила F направлена под углом к оси z, тангенс которого, как видно из рис. 14.2, равен производной dx/dz при z=0:

tg

=

A

u

sin

t

-

z

u

z=0

=

A

u

sin t

.

(4)

При распространении волны в струне каждый её элемент перемещается только поперёк равновесного положения струны. Поэтому горизонтальная проекция силы натяжения струны остаётся неизменной и равной по модулю предварительной силе натяжения F в любой момент времени и в любом месте струны, в том числе и на её левом конце. Отсюда следует, что вертикальная проекция силы F, равная -Ftg (рис. 14.2), изменяется со временем по гармоническому закону:

F

_x

(t)

=-

F

A

u

sin t

.

(5)

Скорость движения левого конца струны равна производной по времени от смещения x(t) даваемого формулой

v

_x

=

x

=-

A

sin t

.

(6)

Мгновенное значение развиваемой двигателем мощности P равно скалярному произведению действующей на левый конец струны силы F на его скорость v:

P

=

F·v

=

F

_x

v

_x

=

F

A^2

^2

u

sin^2t

.

(7)

Видно, что развиваемая двигателем мощность испытывает колебания от нуля до максимального значения, равного FA^2^2/u. Среднее значение мощности легко найти, если выразить входящий в формулу (7) квадрат синуса через косинус двойного угла:

sin^2t

=

1

2

(1-cos 2t)

.

(8)

При усреднении по времени второе слагаемое в (8) исчезает, и выражение для средней мощности P принимает вид

P

=

1

2

F

A^2

^2

u

.

(9)

Подставляя сюда значение силы натяжения струны F из формулы (2), выражение для P можно записать следующим образом:

P

=

1

2

S^2A^2u

.

(10)

Затраченная на возбуждение колебаний левого конца струны энергия, разумеется, не исчезает бесследно, а переносится волной вдоль струны. Это отчётливо видно из формулы (10), в которой правая часть как раз равна потоку энергии, переносимой волной. В самом деле, если рассмотреть кинетическую и потенциальную энергии некоторого элемента струны длины l при прохождении волны, то можно убедиться, что среднее значение их суммы равно S^2A^2l/2. За единицу времени волна распространяется на расстояние l, численно равное её скорости u. Поэтому правая часть формулы (10) представляет собой энергию, переносимую волной через любое сечение струны за единицу времени.

Если струна простирается направо до бесконечности, то энергия переносится волной только в одном направлении. Если при этом диссипация механической энергии, приводящая к затуханию колебаний, пренебрежимо мала, то средний поток энергии в любом месте одинаков.

В ограниченной струне характер распространения энергии будет различным в зависимости от условий на другом конце струны. Если, например, второй конец струны закреплён, то струна не может передать энергию стенке, так как последняя точка струны неподвижна. Энергия волны целиком отражается назад от закреплённого конца. В результате в струне образуется стоячая волна, в которой энергия не переносится через узловые точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Можно показать, что в этом случае средняя мощность двигателя, возбуждающего такую стоячую волну, равна нулю; сколько энергии в течение периода колебаний двигатель отдаёт струне, столько же и получает от неё обратно.