Физика пространства - времени

4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для ^2, т. е.

Квадрат

абсолютной

величины

= p _t p ^t + p _x p ^x + p _y p ^y + p _z p ^z = =

m^2[(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2]

d^2 = m^2 .

В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).

[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]

В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы E и её импульс p) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя m и интервал ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.

Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно E:

E

=

m^2+p^2

.

(87)

Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.

Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи

Когда импульс p мал по сравнению с m (т.е. когда скорость весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить

E=m

1+

p

m

^2

1/2

=m+

p^2

2m

+

p

8m^3

+…

(малые

p

).

При достаточно малых значениях импульса p этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам

Em

p^2

2m

(малые

p

).

(88)

Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом p.

Если же импульс p очень велик по сравнению с m («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде

E=p

1+

m

p

^2

1/2

=p+

m^2

2p

+

m

8p^3

+…

(большие

p

).

Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:

Ep

(ультрарелятивистский предел).

(89)

В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.