Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Что бывает, когда на тело долгое время воздействует по­стоянная сила? В механике Ньютона скорость тела беспрерывно будет возрастать и может превысить даже скорость света. В релятивистской же механике это невозможно. В теории относительности беспрерывно растет не скорость тела, а его импульс, и рост этот сказывается не на скорости, а на массе тела. Со временем ускорение, т. е. изменения в скорости, прак­тически исчезает, но импульс продолжает расти. Поскольку сила приводит к очень малым изменениям в скорости тела, мы, естественно, считаем, что у тела громадная инерция. Но как раз это самое и утверждает релятивистская формула (15.10) для массы тела; она говорит, что инерция крайне велика, когда v почти равно с. Разберем пример. Чтобы откло­нить быстрые электроны в синхротроне Калифорнийского Технологического института, необходимо магнитное поле, в 2000 раз более сильное, чем следует из законов Ньютона. Иными словами, масса электронов в синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы, достигая массы протона! Если m в 2000 раз больше m₀, то 1-v²/с² равно 1/4 000 000, или v от­личается от с на 1/8 000 000, т.е. скорость электронов вплотную подходит к скорости света. Если электроны и свет одновре­менно отправятся в соседнюю лабораторию (находящуюся, скажем, в 200 м), то кто явится первым? Ясное дело, свет: он всегда движется быстрее. Но насколько быстрее? Трудно сказать, насколько раньше во времени, но зато можно ска­зать, на какое расстояние отстанут электроны: на ¹/₃₀ мм, т. е. на ¹/₃ толщины этого листка бумаги! Масса электронов в этих состязаниях чудовищна, а скорость не выше скорости света.

На чем еще скажется релятивистский рост массы? Рас­смотрим движение молекул газа в баллоне. Если газ нагреть, скорость молекул возрастет, а вместе с нею и их масса. Газ станет тяжелее. Насколько?

Разлагая т₀/Ц(1-v²/c²)=m₀(1-v²/с²)^-1/2 в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается

Из формулы ясно, что при малых v ряд быстро сходится и первых двух-трех членов здесь вполне достаточно. Значит, можно написать

где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v² растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению тем­пературы. Но ¹/₂т₀v²— это кинетическая энергия в старомод­ном, ньютоновом смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на с², т. е. Dm=D(к.э.)/с².

§ 9. Связь массы и энергии

Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с². Если (15.11) помножить на с², получается

mc²=m₀с²+¹/₂m₀v²+... . (15.12)

Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое по­стоянное число т₀с²) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».

К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс²? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией т₀с². Затем мы при­кладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и постав­ляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется воз­растать, то начнет расти и масса (это все заложено в первона­чальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

de/dt=F·v. (15.13)

Кроме того, F=d(mv)/dt [см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим

Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в

Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проин­тегрировать обе части равенства. В величине (2m) dm/dt можно узнать производную по времени от m², а в (2mv)·d(mv)/dt— производную по времени от (mv)². Значит, (15.15) совпадает с

Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позво­ляет написать

m²с²=m²v²+C. (15.17)

Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v=0 и обозначить в этом случае массу через m₀. Подстановка этих чисел в (15.17) дает

m²₀c²=0+С.

Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид

m²c²=m2v2+m²₀c². (15.18)

Разделим на с² и перенесем члены с m в левую часть

m²(1-v²/c²)=m²₀,

откуда

А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.