Есть идея!

Играя с посетителем павильона в 15, мистер Ярмар мысленно играет с ним в «крестики-нолики» на магическом квадрате. Если игра в «крестики-нолики» происходит по всем правилам, то партия в 15 кончается вничью. Но легковерные посетители павильона, вздумавшие сразиться с мистером Ярмаром в 15, лишены огромного преимущества, так как не сознают, что в действительности играют в «крестики-нолики». Это облегчает задачу мистеру Ярмару, и он подстраивает своим партнерам каверзы и ловушки, вынуждая их делать ходы, ведущие к его выигрышу.

Чтобы разобраться, как действует мистер Ярмар, рассмотрим подробно партию, изображенную на картинках. Ходы приведены на диаграммах, показанных на рис. 1. Даже если мистер Ярмар ходит вторым (ставит нолики), то на шестом ходу он может поставить даме западню, которая обеспечит ему выигрыш на восьмом ходу независимо от того, как именно пойдет дама на седьмом ходу. Всякий, кто умеет играть на гроссмейстерском уровне в «крестики-нолики», взяв на вооружение магический квадрат, станет непобедимым игроком в 15.

Понятие изоморфизма (математической эквивалентности) — одно из важнейших в математике. Во многих случаях трудная задача легко решается, если ее удается свести к изоморфной уже решенной задаче. По мере того как математика разрастается вглубь и вширь, она становится все более единой, все более упрощается по мере открытия все новых и новых изоморфизмов. Например, найденное в 1976 г. решение знаменитой проблемы четырех красок позволило доказать десятки других важных гипотез в иных разделах математики, которые были изоморфны проблеме четырех красок.

Чтобы помочь вам глубже разобраться в сущности такого фундаментального понятия, как изоморфизм, рассмотрим следующую игру в слова, Берется 9 слов:

БУСЫ

ХЛЕБ

БАНЯ

ПЛУГ

СНЕГ

ГАТЬ

УРОН

ОРЕХ

МАРС

Двое игроков по очереди вычеркивают по одному слову, помечая каждый сделанный ход своими инициалами или условным значком. Выигрывает тот, кому первым удастся вычеркнуть три слова, имеющие общую букву. Пройдет немало времени, прежде чем игроки поймут, что и на этот раз они играют в добрые старые «крестики-нолики». Изоморфизм игр нетрудно установить, если вписать слова в клетки таблички, расчерченной для игры в «крестики-нолики» (рис. 2). Как нетрудно проверить, общая буква имеется лишь у трех слов, расположенных по горизонталям, вертикалям и диагоналям. Тем самым доказано, что играть в слова означает по существу играть в «крестики-нолики», и наоборот (или в 15).

Попробуйте подобрать другие 9 слов для игры. Разумеется, отнюдь не обязательно играть именно в слова родного языка. С тем же успехом можно воспользоваться и абстрактными символами, как это сделано на рис. 3.

Еще лучше играть во все эти игры, записав слова, знаки или цифры на 9 карточках. Разложив точки на столе исписанной стороной вверх, игроки могут по очереди брать по одной карточке до тех пор, пока одни из них не выиграет.

Разобравшись в изоморфизме игры в 15, «крестики-нолики» и игры в слова, приступим к новой игре — на дорожной сети. В нее играют на карте дорог, изображенной на рис. 4.

Между восемью городами проложены дороги. Вооружившись цветными карандашами (один игрок пусть выберет красный карандаш, а другой — синий), игроки по очереди закрашивают по одной дороге (каждую дорогу необходимо закрашивать целиком). Обратите внимание, что некоторые дороги проходят через города не обрываясь. В таких случаях закрашивать дорогу нужно не только до ближайшего города, а на всем ее протяжении. Выигрывает тот, кому первым удастся закрасить три дороги, ведущие в один и тот же город. На первый взгляд кажется, что новая игра не имеет ни малейшего отношения к трем уже рассмотренным нами играм. В действительности же и она изоморфна игре в «крестики-нолики»!

Чтобы установить изоморфизм, достаточно перенумеровать дороги так, как показано на рис. 4. Каждая дорога соответствует клетке магического квадрата, помеченной тем же числом. Каждый город на карте соответствует горизонтали, вертикали или диагонали в магическом квадрате. Как и в предыдущих случаях, изоморфизм полный. Всякий, кто умеет на гроссмейстерском уровне играть в «крестики-нолики», не будет знать горечи поражений и в новой игре.

На рис. 5 изображен один из 880 различных (не переходящих друг в друга под действием поворотов и отражений) магических квадратов 4x4. Постоянная этого квадрата (сумма чисел, стоящих на любой горизонтали, вертикали и диагонали) равна 34. Может ли такой квадрат служить ключом для беспроигрышной игры в 34, то есть игры, в которой игроки по очереди выбирают число от 1 до 16 (ни одно число не разрешается выбирать дважды) до тех пор, пока у одного из игроков не наберется четыре числа, дающие в сумме 34. Изоморфна ли игра в 34 игре в «крестики-нолики» на магическом квадрате, изображенном на рис. 5? Нет, не изоморфна! Почему?

Можно ли так изменить правила игры в «крестики-нолики», чтобы победную комбинацию образовывали четыре клетки, не лежащие на одной горизонтали, вертикали или диагонали, и утраченный изоморфизм был восстановлен?