Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Чтобы понять масштаб таких больших отклонений, вспомните де Муавра и его опыт с подбрасыванием монеты. Он обнаружил, что количество орлов после n бросков обычно лежит в интервале размера, пропорционального √n–. Центральная предельная теорема расширила результат де Муавра и говорит, что то же правило с √n– приложимо ко всем играм и даже ко многим жизненным ситуациям, например опросам общественного мнения. Ключевое предположение, необходимое для применения центральной предельной теоремы, – независимость событий[121]. Мы складываем результаты независимых вращений рулетки или спрашиваем независимые мнения множества разных людей.

Простая рыночная модель сигнала и шума также предполагает независимость при ценообразовании. Согласно ей, будущая стоимость акций должна следовать правилу σ√n– и нормальному распределению. В реальности дела обстоят не так. Физики-теоретики из Санта-Фе и других научных центров мира показали, что колебания будущих цен на акции могут оказаться пропорциональными более высоким степеням n, например n^2/3 или даже самой величине n[122]. Это делает рынок крайне волатильным, а прогнозы почти невозможными: акция за день способна потерять всю стоимость. Это эквивалентно тому, что де Муавр подкинул монету 1800 раз и получил 1800 решек.

Причина этих колоссальных колебаний в том, что трейдеры не действуют независимо друг от друга. В рулетке одно вращение колеса не зависит от другого, и можно применять центральную предельную теорему. Однако на фондовом рынке один продающий трейдер заставляет другого потерять уверенность и тоже продавать. Это делает недействительными предположения теоремы де Муавра, поэтому она неверна; и колебания в цене акций уже нельзя считать небольшими и предсказуемыми. Участники фондового рынка – стадные животные, которые следуют друг за другом и в подъемах, и в спадах.

Не все специалисты по финансовой математике понимали, что центральную предельную теорему нельзя применять к рынкам. Когда я встретился с Фармером в 2009 году, он рассказал мне об одном коллеге из брокерской компании, которая (в отличие от собственной компании Фармера) потеряла много денег по время кризиса 2007–2008 годов. Тот специалист назвал банкротство инвестиционного банка Lehman Brothers «событием двенадцати сигм». Как мы видели в главе 3, отклонение более чем на 1σ бывает примерно один раз из трех; на 2σ – один раз из двадцати, а на 5σ – один раз на 3,5 миллиона случаев. Отклонение на 12σ случается один раз из… не могу даже назвать уверенно это число, потому что мой калькулятор дает сбой, если я пытаюсь найти что-то больше 9σ. В любом случае это крайне маловероятное событие, и оно никак не могло произойти – если только модель была правильной.

Эти физики-теоретики, возможно, обнаружили математику, стоящую за большими уклонениями, но явно были не единственными, кто описывал стадный менталитет трейдеров. Две книги Нассима Талеба – «Одураченные случайностью» и «Черный лебедь» – содержат занятно высокомерный, но исключительно прозорливый анализ финансового мира до 2007 года. Книга американского экономиста Роберта Шиллера «Иррациональный оптимизм», написанная примерно в то же время, дает более академичное и тщательное изложение близких идей[123]. Когда физики-теоретики, прагматичные инвесторы с количественным подходом и экономисты из Йельского университета говорят о недостатках модели одно и то же – вероятно, прислушаться к их словам вполне разумная идея.

На рубеже тысячелетий многие физики-теоретики, пришедшие на работу в финансовую сферу, нашли на рынке определенное преимущество. Они сохраняли это преимущество в течение всего финансового кризиса и выиграли, когда рынки рухнули. Добавив слагаемое с f(X) в свои уравнения рынка, они оказались готовыми к таким событиям, как крах Lehman Brothers, когда трейдеры занимали друг за другом экстремальные и рискованные позиции.