Безграничный разум. Учиться, учить и жить без ограничений

Я читала эту книгу, и если бы я показала ее вам, вы бы увидели, что почти каждое предложение было подчеркнуто. Мой мозг взрывался от разных идей — впрочем, они всегда меня одолевали, только выразить их я не могла. Я не понимала, почему эти ученики испытывают такие трудности.

После летних каникул Нина вернулась в школу и изменила методы преподавания. В конце первого года 64% ее учеников знали предмет на базовом уровне. На следующий год эта цифра увеличилась до 99%.

Нина также пересмотрела принципы ежедневной и еженедельной проверки успеваемости. Теперь она не возвращала ученикам тесты с плюсами и минусами, что служило им фиксированным сигналом об их достижениях, а писала комментарии к работам, указывая на то, что учащиеся поняли, а что только начинают усваивать. Получив свои работы в первый раз, они искали плюсы и минусы, но ни одного не нашли. Нина объяснила, что теперь она рассматривает результаты тестов как показатель того, в какой точке находится ученик на воображаемой шкале понимания предмета.

Кроме того, Нина давала ученикам математические задачи, требующие гибкого и концептуального подхода. Одну из таких задач она взяла из нашего курса «Неделя вдохновляющей математики» (Week of Inspirational Math), где собраны открытые и творческие задачи, которые мы каждый год публикуем на ресурсе Youcubed. Это нерешенная задача из истории математики, которая называется гипотезой Коллатца. Мы представили ее следующим образом.

• Возьмите любое целое число больше нуля.

• Если число четное, поделите его на 2 (уменьшите вдвое).

• Если число нечетное, умножьте его на 3 и прибавьте 1.

• Продолжайте данные операции с полученными числами, пока последовательность не закончится.

• Выберите другое число и создайте аналогичную последовательность. Как вы думаете, что произойдет?

До сих пор никому не удалось найти последовательность чисел, которая не заканчивается числом 1, и никто не смог доказать, почему это так. Данная задача также известна как последовательность чисел-градин, поскольку полученные числа образуют график, похожий на траекторию движения градин в атмосфере, — вверх и снова вниз (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Формирование града

Несмотря на то что данную проблему никто не смог решить, мы посчитали, что она подходит для третьеклассников и учеников постарше. Многие учителя задавали ее своим ученикам, побуждая их быть первыми, кто найдет последовательность, которая не заканчивается единицей, — безусловно, ученикам это нравилось.

Ветер выталкивает капли дождя выше точки замерзания, где они начинают вращаться, замерзают и увеличиваются в размерах, пока не станут достаточно тяжелыми и не начнут выпадать на землю в виде града.

Рис. 5.7. Визуальное отображение числовых закономерностей

Рис. 5.8. Количество шагов, за которое последовательность приходит к единице

Одна из учениц Нины, Джоди, в течение года по состоянию здоровья часто пропускала занятия и не могла выполнять домашнюю работу. Она никогда не любила математику, но была очарована задачей о числах-градинах. Однажды Нина заметила, что карманы Джоди, вышедшей на прогулку, набиты небольшими листками бумаги. Несколько недель карманы все увеличивались, пока листки не начали выпадать.

Наконец Нина спросила у нее, что это такое. Джоди запустила руку в карман и вручила Нине листки с каракулями, где она пыталась изобразить разные графики последовательностей. Неделями девочка старательно работала над гипотезой Коллатца, проверяя одну последовательность за другой. Нина задумалась и поделилась своими мыслями со мной.

Джо, она знает эту последовательность и чертовски этим гордится. Я сказала ей: «Мне неважно, будешь ли ты весь год выполнять домашние задания. (Усмехается.) Просто продолжай работать над последовательностью чисел-градин».

Многие ребята говорили: «Ничего себе! Каждый раз, когда мы доходим до 16, последовательность повторяется». Я им: «Правда?»

Джоди чувствовала, что достигла успеха, — возможно, первый раз за все время изучения математики, так что спасибо тебе за это.