Безграничный разум. Учиться, учить и жить без ограничений

Учитель из Англии связал свой опыт с «Беседами о числах». Он попробовал вести подобные дискуссии среди своих лучших учеников и начал с задачи 18 × 5. Школьники охотно предлагали разные способы решения, обсуждение получилось живым и интересным. Затем он задал тот же вопрос группе неуспевающих — ответом было молчание. Ученики могли вычислить результат с помощью известного им алгоритма, но других подходов к решению не знали. Учитель предложил подумать о том, как можно решить эту задачу по-другому, например найти произведение 20 × 5. Класс очень удивился: «Но, сэр, мы думали, что так делать нельзя». Сильные ученики усвоили гибкий подход к числам, а слабые не смогли, полагая, что так обращаться с числами непозволительно.

Этот случай свидетельствует об ущербе, нанесенном математическому образованию: люди думают, что гибко обращаться с числами нельзя, а математика состоит из следования правилам и схемам. Неудивительно, что очень многие теряют интерес к предмету. Я часто отмечала эту проблему. Она типична для всех учеников и представителей всех национальностей, но, похоже, особенно характерна для неуспевающих, как следует из приведенного примера и исследования Грея и Толла.

Исключительно эффективный математический навык — упрощать. Когда мы ищем решение сложной задачи, используя меньшие числа, то присущие ей закономерности часто становятся более понятными и осязаемыми. К примеру, рассмотрим изящное доказательство, известное как доказательство Гаусса. Это одна из прекрасных математических закономерностей, которые полезно знать каждому учителю или родителю независимо от того, увлекаются их дети математикой или нет.

Карл Гаусс был немецким математиком, жившим в XIX веке. Я не знаю, насколько правдива часто упоминаемая история про его детские годы, но она замечательная! Когда Карл учился в начальной школе, преподаватель понял, что ему необходимо давать сложные задачи, и, чтобы занять его на долгое время, попросил сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Но маленький Карл заметил одну любопытную закономерность и понял, что необязательно складывать все числа, ведь сумма пар чисел, равноудаленных от концов, одинакова: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 = 101 и так далее, и что таких пар ровно 50. Результат был получен мгновенно: 50 × 101 = 5050 (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Способ вычисления суммы целых чисел от 1 до 100, примененный Карлом Гауссом, и пример с вычислением суммы целых чисел от 1 до 10

Чтобы понять закономерности в доказательстве Гаусса, полезно рассмотреть пример с меньшим количеством чисел — от 1 до 10. Так мы поймем, почему сложение пары, где одно число на единицу больше, а другое на единицу меньше чисел в предыдущей паре, дает в сумме одно и то же число. Если вам захочется испытать себя и не упустить возможность для развития мозга, рекомендую подумать, как метод Гаусса работает на примере последовательности, состоящей из нечетного количества целых чисел.

Рассмотрение примера с последовательностью чисел от 1 до 10 — по сути, математическая операция, но когда я объясняла это ученикам, то столкнулась с сопротивлением слабых школьников. Их учили, что математика состоит из набора правил, которым нужно четко следовать. Им совершенно чужда мысль о том, что можно не отвечать на поставленный вопрос, а задать другой, изменить первоначальную задачу; они считают, что тем самым нарушат выученные правила.

Мне кажется, в жизни крайне важно научиться играть с числами и рассматривать математику как предмет, к которому стоит относиться открыто и многопланово. Я говорю это не ради красного словца, а потому что знаю: когда люди иначе рассматривают математику, они так же по-другому видят и собственный потенциал, а это меняет их жизнь и дает возможность пережить опыт, который нельзя получить иным образом. Такое восприятие позволяет им не только преуспеть в математике и STEM-дисциплинах в школе и за ее пределами; оно развивает умение разбираться в количественных показателях, помогает освоить профессии, связанные с финансами, статистикой и другими сферами жизни, немыслимыми без математики.

Если учителя преподают математику как открытый и концептуальный предмет, освоение которого не завязано на временных рамках, это невероятно раскрепощает мышление. Нина Судник, учительница четвертого класса из Огайо, рассказала об одном ученике, испытавшем чувство освобождения после того, как он нашел концептуальное решение математической задачи. Молодую женщину очень удивляло то, как мало знали ее ученики, хотя они изучали математику уже пятый год. Она попыталась понять причины и в конце концов нашла одну из моих предыдущих книг — «При чем тут математика?» (What’s Math Got to Do with It?)[132], которая произвела на нее большое впечатление.