Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

В этом письме Дедекинду Кантор сообщает: в 1882 году он понял, что символы , + 1, + 2, ..., + , + + 1, ... являются не чем иным, как трансфинитными числами, то есть такими, которые позволяют считать за пределами натуральных чисел. В первую очередь, он назвал их ординальными и, чтобы подчеркнуть, что они являются актуально бесконечными, символ оо, ассоциирующийся с потенциальной бесконечностью, заменил греческой буквой .

Что такое ординальные числа? Как утверждал Кантор в своей работе 1883 года, существуют два принципа порождения ординальных чисел. Первый состоит в том, что за каждым ординальным числом непосредственно идет следующее. Согласно второму принципу, если есть последовательность ординальных чисел, то и за ней сразу же идет ординальное число.

Первое ординальное число — 0, за ним идет, разумеется, 1, потом 2, 3 и так далее. Ординальные числа 0, 1,2, 3,... являются конечными, или, как говорил Кантор, числами «первого класса».

По второму принципу порождения, за последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... стоит ординальное число: имеется в виду , первое трансфинитное ординальное число. Затем следуют + 1, + 2, + 3, ...; дальше, опять применив второй принцип порождения, мы получим новое ординальное число + , а после него — + + 1, + + 2,...

Резюмируя, ряд ординальных чисел начинается так: 0,1,2, 3,...,, + 1, + 2,..., + +1, + + 2,..., + + + 1,...,где многоточие обозначает бесконечное количество членов.

Теперь вернемся к ординалу и подумаем о множестве всех предшествующих ему чисел, то есть обо всех ординальных числах меньше . Это множество состоит из чисел 0, 1,2, 3,..., и поскольку оно счетное, Кантор утверждает, что — ординал «второго класса». У ординалов первого класса конечное количество предшественников, а у второго класса — счетное. Ординальное число, например + 1, всегда будет числом второго класса, потому что ему предшествуют числа 0,1,2,3,..., , образующие счетное множество. Ординальные числа , со + 1, + 2, ..., + + 1, + + 2,..., + + + 1,... относятся ко второму классу. Теперь обратимся к последовательности всех ординалов второго класса: согласно второму принципу порождения, сразу же за ними идет еще одно ординальное число. Обычно оно обозначается символом . Возникает вопрос: к какому классу относится ?

В статье 1883 года Кантор смог доказать, что все числа, предшествующие , то есть и первого, и второго классов, составляют несчетное множество. Следовательно, число не принадлежит ко второму классу, а является первым ординалом «третьего класса». Еще большую важность имеет тот факт, что Кантор доказал: множествам первого и второго классов соответствует кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел.

Обратим внимание на изящество системы Кантора (см. рисунок): множество ординальных чисел первого класса счетное, а его кардинальное число — самое маленькое из всех бесконечных кардинальных чисел. Если мы добавим числа второго класса, то получим следующее непосредственно за ним кардинальное число. Если добавим числа третьего класса — следующее и так далее для четвертого, пятого и других классов. В 1883 году у этих кардинальных чисел еще не было отдельного названия. Кантор дал им имя в 1895 году.

В «Основаниях общей теории многообразий» математик писал, что всегда предполагал существование кардинальных чисел, больших, чем у вещественных чисел, но до того момента ему не удавалось найти никакого примера. Эта система ординалов («изящная спираль ординалов и кардиналов», по определению историка Хосе Феррейроса) позволила ему наконец доказать существование бесконечного числа уровней бесконечности.

Где в этой системе располагается кардинальное число вещественных чисел? Как мы видели, чтобы получить кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел, надо прибавить первый класс ко второму. Напомним также: континуум-гипотеза гласит, что это кардинальное число вещественных чисел. Это значит, что если бы континуум-гипотеза была верной, то вся наша теория обрела бы элегантную последовательность, так как первый класс дал бы нам кардинальное число натуральных чисел, а второй класс — вещественных чисел. Сделав это открытие, Кантор понял, что континуум-гипотеза — краеугольный камень его теории, и стал одержим ее доказательством. Однако это ему не удалось, и, возможно, разочарование от неудачи стало одной из причин депрессии, поразившей его в мае 1884 года. Кантор не дожил до того момента, когда смог бы удостовериться, верна гипотеза или нет.

АТАКА ПАРАДОКСОВ

Одно из возражений, предъявленных Кантору тогда, состояло в том, что ординальных чисел просто-напросто не существует.

Каждый раз, прибавляя целый класс ординальных чисел, мы переходим к следующему кардинальному.