Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

Gustavo Ernesto Pineiro Наука. Величайшие теории: выпуск 30: Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Пер. с итал. — М: Де Агостини, 2015. — 168 с.

ISSN 2409-0069

Еженедельное издание

Введение

Когда в звездную безлунную ночь вдали от городских огней мы любуемся восхитительным зрелищем, в глубине души рождается тревожное чувство: насколько же мала наша планета в сравнении с бесконечностью!

Бесконечность — не только сложное математическое понятие. Дуализм бесконечного — того, что буквально «не имеет конца», — и его противоположности, конечного — того, что рано или поздно заканчивается, — вероятно, сопровождал человечество с тех самых пор, когда первый Homo sapiens задумался, есть ли предел у неба, можно ли достичь горизонта, действительно ли заканчивается наша жизнь или каким-то образом непрерывно продолжается.

Но бесконечность также способна вызывать головокружение и, согласно древнегреческому философу Зенону Элейскому, парализовать всю Вселенную. В VI веке до н.э. Парменид Элейский — некоторые историки считают его отцом западной метафизики — постулировал существование бытия, главная характеристика которого сводится к тому, что оно существует. Бытие существует, оно есть.

Отталкиваясь от этого, Парменид заключил, что бытие вмещает в себя весь мир, ибо будь в нем некий участок, где его нет, это означало бы, что бытия в нем не существует. Это является терминологическим противоречием, то есть такое невозможно. Следовательно, бытие вмещает в себя всю Вселенную. Другими словами, вся она, включая нас, составляет бытие. Бытие неизменно, оно не может меняться. Предположим, что оно перешло из состояния А в состояние В. В таком случае оно перестало существовать в состоянии А, а это невозможно, потому что бытие не может прекратить свое существование. Следовательно, бытие и вся Вселенная неизменны. Это означает, что хотя, как нам кажется, мы наблюдаем изменения и движение, на самом деле их не существует. Даже времени не существует: у бытия нет ни прошлого, ни будущего — только настоящее.

Ученик Парменида Зенон выдвинул целый ряд заключений, парадоксов. Как и его учитель, он утверждал: изменений и движения не существует. То, что мы видим, — заблуждение, в которое нас вводят органы чувств, а разум и логика в состоянии это доказать.

Во всех парадоксах Зенона так или иначе присутствует понятие бесконечности. В одном из них утверждается, что если мы бросим камень в дерево, растущее в одном метре от нас, вопреки увиденному камень никогда не попадет в него, более того, он так и останется у нас в руке.

Зенон рассуждал следующим образом: чтобы долететь до дерева, камень должен преодолеть расстояние в полметра, а до этого — четверть метра, а еще раньше — восьмую часть метра, шестнадцатую и так далее. Чтобы угодить в дерево, камню придется совершить бесконечное число переходов. Но невозможно выполнить бесконечное количество движений за конечное время. Поэтому, заключает Зенон, камень никогда не коснется дерева. Эти же рассуждения справедливы и для миллиметрового масштаба, и для тысячной доли миллиметра. Действительно, получается, что камень никогда не отделится от нашей руки. Таким образом, по Зенону, бесконечное позволяет показать, что Вселенная неизменна.

В IV веке до н.э. Аристотель, заложивший основы систематического изучения логики и науки в целом, написал трактат «Физика». Среди прочих вопросов в нем исследовалось и движение тел. Но сначала Аристотелю предстояло доказать, что движение вообще существует в действительности, а значит, опровергнуть доводы Парменида и Зенона.

Если бытие не может не существовать, то как оно способно изменять свое состояние, переставать быть? Аристотель говорит, что оно есть, но иногда оно состоит в потенции, а иногда — в действии. Когда ребенок вырастает и оказывается взрослым, он не перестает быть ребенком, ребенок — это взрослый в потенции, который становится взрослым в действии. Ребенок изменился, но не прекратил существовать. Зерно — это растение в потенции, белый лист — текст в потенции и так далее. Несколько веков спустя Микеланджело Буонаротти высказал похожую мысль: в глыбе мрамора уже содержится скульптура, и нужно только отсечь все лишнее. Так Аристотель совместил представление Парменида о бытии с возможностью изменения.