Базы данных: конспект лекций

Результатом операции левое внешнее соединение является результат внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами левого исходного отношения-операнда. Аналогично результат операции правого внешнего соединения определяется как результат операции внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами стоящего справа исходного отношения-операнда.

Вопрос, чем же пополняются результирующие отношения операций левого и правого внешнего соединения, вполне ожидаем. Кортежи одного отношения-операнда дополняются на схеме другого отношения-операнда Null-значениями.

Стоит заметить, что введенные таким образом операции левого и правого внешнего соединения являются производными операциями от операции внутреннего соединения.

Чтобы записать общие формулы для операций левого и правого внешнего соединений, проведем некоторые дополнительные построения.

Пусть нам даны два отношения r₁(S₁) и r₂(S₂) с различными схемами отношений S₁ и S₂, не пересекающимися друг с другом.

Так как мы уже оговаривали, что операции левого и правого внутреннего соединения являются производными, то мы можем получить следующие вспомогательные формулы для определения операции левого внешнего соединения:

1) r₃ (S₂ ∪ S₁) ≔ r₁(S₁) × _Pr₂(S₂);

r₃ (S₂ ∪ S₁) — это просто результат внутреннего соединения отношений r₁(S₁) и r₂(S₂). Левое внешнее соединение является производной операцией именно от операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с нее;

2) r₄(S₁) ≔ r ₃(S₂ ∪S₁) [S₁];

Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r₁(S₁). Результат обозначили r₄(S₁) для удобства применения;

3) r₅ (S₁) ≔ r₁(S₁) \ r₄(S₁);

Здесь r₁(S₁) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r₄(S₁) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r₅(S₁) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;

4) r₆(S₂)≔ {∅(S₂)};

{∅(S₂)} — это новое отношение со схемой (S₂), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r₆(S₂);

5) r₇ (S₂ ∪ S₁) ≔ r₅(S₁) × r₆(S₂);

Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r₅(S₁)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S₂ Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r₆(S₂), определенное в пункте четыре;

6) r₁(S1) →× _P r₂(S₂) ≔ (r₁ × _P r₂) ∪ r₇ (S₂ ∪ S₁);

Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r₁ и r₂ и отношения r₇ (S₂ ∪ S₁), определенного в пункте пятом.

Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:

1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:

r₁(S₁) →× _P r₂(S₂) ≔ (r₁ × _P r₂) ∪ [(r₁ \ (r₁ × _P r₂) [S₁]) × {∅(S₂)}];

2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:

r₁(S₁) →× _P r₂(S₂) ≔ (r₁ × _P r₂) ∪ [(r₂ \ (r₁ × _P r₂) [S₂]) × {∅(S₁)}];

Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.

1. Свойство коммутативности:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) →× _P r₂(S₂) ≠ r₂(S₂) →× _P r₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) ←× _P r₂(S₂) ≠ r₂(S₂) ←× _P r₁(S₁)

Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) →× _P r₂(S₂) = r₂(S₂) →× _P r₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) ←× _P r₂(S₂) = r₂(S₂) ←× _Pr₁(S₁).

2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S1) = (r₁ →× _P r₂) [S₁];

2) для операции правого внешнего соединения:

r₂(S₂) = (r₁ ←× _P r₂) [S₂].