Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Судя по всему, из европейских ученых XIX века только Гальтон был одержим идеей сбора данных более, чем сам Кетле. Еще будучи совсем молодым, Гальтон ежедневно измерял температуру чайника с чаем, а также собирал информацию об объеме кипящей воды и о том, насколько тонким получился вкус. Цель его состояла в установлении способа приготовления чашки совершенного чая. (К окончательным выводам, впрочем, он так и не пришел.) Гальтон также создал в Лондоне «антропометрическую лабораторию» — нечто вроде клиники, принимавшей всех желающих, куда представители широкой публики могли прийти, дабы измерить свой рост, вес, силу рук, частоту дыхания, зрение и другие физические характеристики. Лаборатория Гальтона собрала данные о более чем 10 000 человек, и он удостоился такой славы, что премьер-министр Уильям Гладстон даже заглянул как-то к нему, чтобы его тоже измерили.

Исследования Гальтона подтвердили то, что утверждал Кетле, — вариации в человеческих популяциях строго предопределены. Гальтон тоже повсюду обнаруживал колоколообразную кривую. Именно то, что она появлялась столь часто, навело его на мысль использовать термин «нормальное» как наиболее подходящее определение для данного распределения. Окружность человеческой головы, размер мозга и количество мозговых извилин — колоколообразные кривые были везде, хотя сам Гальтон больше всего интересовался нефизическими характеристиками, например интеллектом. Тесты для измерения IQ. тогда еще не придумали, так что Гальтон решил использовать результаты вступительных экзаменов в Королевскую военную академию в Сандхерсте. Баллы, выставленные за экзамен, также ложились на колоколообразную кривую! Она вызывала в нем чувство восхищения, смешанного с ужасом. «Едва ли мне известно что-либо другое, столь же впечатляющее, чем эта по-истине чудесная форма космического порядка, выраженная в колоколообразной кривой, — писал он. — Если бы древние греки знали о таком законе, они бы придумали для него специального бога, который правит, невозмутимый и незаметный, среди ужасного беспорядка. Чем огромней толпа и чем больше анархия, тем более совершенно его действие. Это высший закон иррациональности».

Гальтон изобрел на удивление простое приспособление, названное «квинканкс»[64], для объяснения той математики, что стоит за обожаемой им кривой. Слово «квинканкс» исходно означало пятерку — пять точек, расположенных как на игральной кости 5, а придуманное им приспособление представляло собой нечто вроде пинбол-машинки — ящик с прозрачной передней стенкой, в заднюю стенку которого в шахматном порядке вбиты штырьки. Сверху в ящик через воронку, расположенную посередине, кидаются шарики. Нижняя часть ящика разделена перегородками, число которых равно числу штырьков в последнем ряду. Падая, шарики скапливаются на дне и образуют столбики. Распределение высот этих столбиков напоминает колоколообразную кривую[65].

Квинканкс

Разобраться в том, что здесь происходит, можно используя идею о вероятности. Сначала представим себе квинканкс с одним-единственным штырьком; когда шарик ударяется о него, исход такого соударения случаен: в 50 процентах случаев шарик отскочит налево, а в 50 процентах случаев — направо. Другими словами, с вероятностью 1:2 он попадет в положение слева, а с вероятностью 1:2 — справа от центра.

Теперь добавим второй ряд штырьков. Теперь шарик может повернуть или сначала налево и потом еще раз налево, что мы будем обозначать как LL, или налево и потом направо, что мы обозначим как LR, или же, в тех же обозначениях, пройти пути RL или RR. Поскольку исход «сначала повернуть налево, а затем сразу же направо» эквивалентен исходу «положение шарика не меняется», L и R сокращают друг друга (как, равным образом, и R и L), так что в результате вероятность того, что шарик попадет в левое положение, равна 1:4, вероятность того, что он попадет в середину, равна 2:4, и вероятность того, что он уйдет направо, также равна 1:4.

Добавим третий ряд. Повторяя наши рассуждения, видим, что равновероятные исходы состоят в том, что пути шарика будут LLL, LLR, LRL, LRR, RRR, RRL, RLR и RLL. Это дает вероятность 1:8 приземлиться в крайнем левом положении, 3:8 — слева рядом с центром, 3:8 — справа рядом с центром и 1:8 — в крайнем правом положении.

Другими словами, если в квинканксе имеется два ряда и мы накидаем туда уйму шариков, то по закону больших чисел шарики лягут на дно в отношении, близком к 1:2:1.

Если рядов три, то шарики соберутся на дне в отношении 1:3:3:1.

Если рядов четыре, то в отношении 1:4:6:4:1.

Подсчитывая вероятности и дальше, для квинканкса с десятью рядами штырей получим, что шарики распределятся в отношении

1:10:45:120:210:252:210:120:45:10:1.

Если нанести эти числа на график, то получатся распределения, показанные на рисунке.