Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Первым, кто осознал закономерность, проявляемую подобными ошибками измерений, был знаменитый немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). Закономерность описывается следующей колоколообразной кривой:

Гауссовский график требует некоторых пояснений. Горизонтальная ось изображает некоторый набор исходов, например вес багета или угловое расстояние между звездами. Вертикальная ось показывает вероятности этих исходов. Кривая, построенная на осях с такими параметрами, называется распределением. Она показывает разброс исходов и то, насколько вероятен каждый из них.

Имеется множество различных типов распределений, но самый главный тип описывается именно приведенной выше кривой. Колоколообразная кривая известна также как нормальное распределение, или гауссово распределение. Исходно оно называлось кривой ошибок, но из-за ее отличительной формы больше привился термин колоколообразная кривая. У колоколообразной кривой есть среднее значение, которое отмечено буквой X. Среднее — это наиболее вероятный исход. Чем дальше вы уходите от среднего, тем менее вероятны соответствующие исходы.

Когда измеряется некая величина и процесс подвержен случайным ошибкам, результат, как правило, одним и тем же не получается. Однако чем больше делается измерений, тем сильнее распределение исходов начинает напоминать колоколообразную кривую; другими словами, исходы симметрично группируются вокруг среднего значения. Конечно, график, выражающий результаты измерений, будет не непрерывной кривой, а (как в случае с моими багетами), ломаной линией, проходящей через фиксированные точки. Колоколообразная кривая — это теоретический предел того, как ведут себя случайные ошибки. Чем больший объем данных собран, тем лучше ломаная линия ложится на эту кривую.

В конце XIX столетия другой выдающийся математик — француз Анри Пуанкаре (1854–1912) понял, что распределение исходов, подверженных случайным ошибкам измерения, аппроксимируется колоколообразной кривой. Пуанкаре на самом деле провел тот же «хлебный» эксперимент, что и я, но совсем по другой причине. Он подозревал, что булочник обманывает его, продавая хлеб заниженного веса, и решил с помощью математики вывести мошенника на чистую воду. Каждый день в течение года Пуанкаре взвешивал купленную килограммовую буханку хлеба. Пуанкаре знал, что если вес несколько раз окажется ниже 1 килограмма, то это еще не свидетельство злонамеренности булочника, поскольку следует ожидать, что вес будет колебаться, оказываясь то несколько выше, то несколько ниже указанного килограмма. И он предположил, что график, отражающий вес хлеба, будет напоминать нормальное распределение, поскольку ошибки, неизбежно закрадывающиеся при изготовлении хлеба (количество использованной муки или продолжительность выпечки), носят случайный характер.

Спустя год он рассмотрел все собранные им данные. Распределение весов очень неплохо аппроксимировало колоколообразную кривую. Однако пик кривой пришелся на 950 граммов. Другими словами, средний вес буханки был равен 0,950 килограмма, а не 1 килограмму, как объявлялось. Подозрения, мучавшие Пуанкаре, подтвердились. Знаменитого ученого обманывали в среднем на 50 граммов на каждой буханке. Согласно распространенной легенде, Пуанкаре известил парижскую полицию, и пекарь получил строгое предупреждение.

Добившись этой небольшой победы в борьбе за права потребителей, Пуанкаре не остановился на достигнутом. Он продолжал каждый день взвешивать хлеб, и еще через год обнаружил, что форма графика не описывается правильной колоколообразной кривой; оказалось, кривая скошена направо. Поскольку он знал, что полностью случайная ошибка приводит к правильной колоколообразной кривой, он заключил, что на вес продаваемого хлеба влияет какой-то неслучайный фактор. По-видимому, решил Пуанкаре, пекарь не прекратил хитрить, недовешивая хлеб. Просто каждый раз мошенник продавал Пуанкаре — с которым, как он считал, лучше было не связываться — самый большой хлеб из имевшихся, тем самым внося в распределение систематическую ошибку.

К несчастью для булочника, его покупатель был одним из умнейших людей во всей Франции. Пуанкаре снова информировал полицию.

Способ, который применил тогда Пуанкаре, был поистине провидческим; в наше время он составляет теоретическую основу защиты прав потребителей. Когда магазины продают продукты заявленного веса, по закону эти продукты не обязаны иметь в точности этот вес — такого и быть не может, потому что в процессе производства неизбежно некоторые изделия оказываются немного тяжелее, а некоторые — немного легче. Работа служащих, следящих за соблюдением стандартов в торговле, состоит в случайной выборке образцов продукта, доступного в продаже, и построении графика, показывающего вес. Для всякого продукта, подвергающегося такой процедуре, распределение весов должно укладываться на колоколообразную кривую с центром на заявленном значении.

* * *