Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Успех «Начал» бесспорен, эта книга оказала значительное влияние на развитие всех областей математики. Известный математик и педагог XX века Лусио Ломбардо Радис писал: «После Библии и работ Ленина [«Начала»] является самой публикуемой и переводимой книгой. Еще несколько десятилетий назад она служила учебником геометрии для средней школы». Поскольку математика является обязательным предметом всех систем образования во всех странах мира, каждый человек на Земле, ходивший в школу, так или иначе познакомился с «Началами» через тексты учебников математики.

ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (325–265 гг. до н. э.)

Несмотря на видное место Евклида в истории математики, о его жизни известно мало. Более того, его часто путают с другим Евклидом (из Мегары). Евклид Александрийский родился около 325 г. до н. э. и, по имеющимся данным, уже в возрасте 25 лет стал директором математического отдела музея Александрии. Это заведение было «прибежищем муз» и было больше похоже на библиотеку и колледж, чем на достопримечательность. Действительно, это был крупный научный центр в средиземноморском мире, где хранились копии всех основных научных трудов того времени. Считается, что Евклид получил образование в Афинах, и его работы признавались исключительными даже до его смерти в 265 г. до н. э. Его влияние не ослабевало на протяжении столетий, и даже коллектив математиков 1930-х гг., известный как Бурбаки, пропагандируя радикальные изменения в математике, выбрал наиболее привлекающий внимание лозунг «Долой Евклида!»

Фрагмент фрески «Афинская школа» работы Рафаэля. Художник изобразил Евклида с лицом архитектора Браманте и с циркулем в руке.

«Начала» состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую — вопросам чисел, а с одиннадцатой по тринадцатую — стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему».

Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей». (Первый английский перевод работ Евклида был сделан в 1570 г. Генри Биллингсли, ставшим вскоре лорд-мэром Лондона.)

Крайнее и среднее отношение, которое прозвучало так ненавязчиво, что его нетрудно упустить из вида, является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием «О божественной пропорции». Современное обозначение золотого сечения фи, Ф, появилось значительно позже, в начале XX века, когда американец Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий, архитектора Парфенона в Афинах.

Теперь, когда мы рассказали историю золотого сечения и определили его как иррациональное число, мы можем наконец начать изучение его математических свойств. Прежде всего, посчитаем значение числа Ф.

Разделим отрезок на две части, тогда он будет разделен в крайнем и среднем отношении в терминах Евклида, иначе говоря, в «золотом» отношении, если x/1 = (1/x-1)

Если дроби равны, то равны и соответствующие произведения по правилу «крест-накрест»: a/b = c/d <=> a∙b = b∙c. Это приводит нас к квадратному уравнению:

x∙(x -1) = 1∙1 — > x² — x = 1

которое эквивалентно уравнению х² — х — 1 = 0. (1)

У этого уравнения есть два решения. Нас интересует лишь положительное:

x = (1 + √5)/2 =~ 1,618

Это и есть искомое число, которое мы обозначим Ф:

Ф = (1 + √5)/2 =~ 1,618