Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Эта элегантная кривая называется логарифмической спиралью. Она вовсе не является математическим курьезом наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса…

до рукавов галактик.

… и в элегантной спирали лепестков распустившейся розы.

На примере королевы цветов мы вступаем в другую область, где тоже господствует золотое сечение: мир растений. Присутствие золотого сечения здесь неочевидно и требует введения нового математического понятия: последовательности Фибоначчи. Эта последовательность чисел, описанная итальянским математиком в XIII веке, начинается с двух единиц, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Вот первые пятнадцать чисел этой бесконечной последовательности:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Частное от деления любого числа последовательности на предшествующее ему число будет стремиться к Ф, давая все более точное значение для каждого следующего числа последовательности. Покажем это:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1,666…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615348…

34/21 = 1,61904…

55/34 = 1,61764…

89/55 = 1,61818…

144/89 = 1,61797…

...

Ф = 1,6180339887…

Для сорокового числа последовательности частное совпадает с «золотым» числом с точностью до четырнадцатого десятичного знака. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны, позже мы рассмотрим их более подробно. Достаточно отметить, насколько невероятна эта связь между абстрактным царством чисел и физической реальностью.

Чтобы показать это, мы рассмотрим еще один цветок, внешне сильно отличающийся от розы, — подсолнечник с семенами:

Первое, что мы видим, — семена расположены по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если мы посчитаем спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Но эти два числа нам уже встречались.

В структуре цветка появились два идущих друг за другом числа из последовательности Фибоначчи. Если мы проведем такой же эксперимент с другим цветком подсолнечника, вполне вероятно, что мы получим другую пару чисел из этой последовательности, например, 55 и 89. Но это не единственный пример, когда мы можем увидеть золотое сечение в структуре растений. Другими примерами являются расположение веток деревьев, количество лепестков на многих цветах и даже форма листьев. Большая часть пятой главы будет посвящена изучению этой, казалось бы, магической связи между числами и органическими формами.

Иррациональные числа и числовые последовательности, Фидий и Леонардо, розы и подсолнечник — все это образует «золотой мир», построенный на удивительном числе Ф.

Числа

Каким бы стал мир, если бы однажды вечером мы легли спать, а ночью все числа исчезли бы вместе с математикой? На следующий день мы проснулись бы в мире без компьютеров, без радио и телевидения, без мобильных телефонов. Не было бы даже чайника, чтобы заварить чашку чая… А что творилось бы на улице! Человеческое общество не может существовать без чисел. Их значение невозможно переоценить, причем не только в современном обществе, основанном на цифровых технологиях. Так было всегда. Числа отражали и направляли человеческую деятельность с доисторических времен, и, пожалуй, они являются самым фундаментальным инструментом цивилизации.

Все цивилизации создавали свои системы счисления, и в каждой культуре это происходило по-разному. Тем не менее, все числа имели одни и те же функции: счет, упорядочивание, измерение и кодирование.

Первые две функции наиболее очевидны. Чтобы уметь считать, мы должны присвоить предметам численные значения, другими словами, дать им номер. Имея ряд пронумерованных объектов, мы займемся следующей естественной задачей: размещением их по порядку. Другие две функции появились значительно позже, так как они связаны с задачами большей сложности. Для измерения необходимы стандарты — набор единиц измерения — чтобы иметь возможность эффективно сравнивать разные результаты измерений. Позже остальных появилась еще одна функция чисел: кодирование. Хоть она и возникла самой последней, но без кодирования, более известного в наши дни как шифрование, невозможно представить современное общество.