Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Имеются косвенные свидетельства того, что со временем Ферма отказался от мысли о том, что владеет доказательством. Он имел обыкновение включать свои теоремы в письма в качестве головоломок, которые другим математикам предлагалось решить (и по крайней мере один из них жаловался на чрезмерную сложность заданий). Однако ни в одном из сохранившихся его писем не упоминается эта теорема. Что еще более показательно, Ферма предложил в качестве задач своим корреспондентам два ее частных случая, с кубами и четвертыми степенями. Зачем бы он стал это делать, если бы мог доказать более общий вариант? Он наверняка мог доказать теорему для случая с кубами, и мы знаем, как он доказывал ее для четвертых степеней. Мало того, это доказательство – единственное во всех оставленных им работах и бумагах. В формулировке Ферма это утверждение выглядело так: «Площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом». Очевидно, по замыслу автора эта формулировка должна была вызывать в памяти Пифагоровы тройки. Из Евклидова алгоритма решения диофантовых уравнений легко следует, что эта задача эквивалентна нахождению двух квадратов, дающих в сумме четвертую степень. Если бы решение уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴ с показателем степени 4 существовало, то и x⁴, и y⁴ были бы квадратами (x² и y² соответственно); тогда из утверждения Ферма следует, что такого решения не существует.

Его доказательство было изящно и сделано по тем временам радикально новым методом, который сам он назвал методом бесконечного спуска. Предположим, что решение существует; тогда, применив алгоритм Евклида и немного повозившись, можно прийти к выводу, что существует и еще одно, меньшее решение. Следовательно, говорит Ферма, можно построить бесконечную цепочку решений, которые с каждым шагом будут становиться все меньше и меньше. Поскольку любая нисходящая цепочка такого рода, составленная из положительных целых чисел, в конце концов должна будет закончиться, возникает логическое противоречие. Значит, гипотетическое решение, с предположения о существовании которого мы начали свои рассуждения, не может существовать в действительности.

* * *

Возможно, Ферма намеренно скрывал свои доказательства. Судя по всему, он любил пошутить и ему нравилось помучить собратьев-математиков, представляя им свои изыскания в виде загадок. Его замечание на полях не единственное, в котором объявлялся некий важный результат, а затем следовали извинения за отсутствие доказательств. Декарт считал Ферма фанфароном, а Валлис называл его не иначе как «этот проклятый француз». Как бы то ни было, его тактика – если так и было задумано – работала. После смерти Ферма – да и при его жизни тоже – великие математики считали своим долгом довести до ума и отшлифовать какую-нибудь из головоломок, которые Ферма оставил потомкам. Эйлер, к примеру, объявил, что нашел доказательство теоремы для третьих степеней (сумма двух кубов не может быть кубом) в 1753 г. в письме к своему другу Христиану Гольдбаху. Сегодня мы понимаем, что в его доказательстве имелся пробел, но заполнить его было относительно несложно, так что первое опубликованное доказательство этого случая обычно признают за Эйлером. Адриан-Мари Лежандр доказал Великую теорему для пятых степеней в 1825 г., а Петер Дирихле доказал ее для 14-х степеней в 1832 г. и попытался – неудачно – доказать для седьмых; этот результат, вероятно, можно было бы спасти, если бы автор нацелился на что-нибудь попроще. Габриель Ламе разобрался с седьмыми степенями в 1839 г., а в 1847 г. изложил основные идеи общего доказательства в Парижской академии наук. В его доказательстве был задействован аналог разложения на простые множители для особого типа комплексных чисел.

Сразу же после его выступления встал Жозеф Лиувиль, который указал на возможную ошибку в методе Ламе. Для обычных чисел разложение на простые множители всегда единственно: если оставить в стороне порядок записи множителей, то сделать это можно только одним способом. К примеру, число 60 раскладывается на простые множители как 2² × 3 × 5, и существенно этот набор изменить нельзя. Лиувиль опасался, что для предложенного Ламе класса комплексных чисел факторизация может оказаться не единственной. Со временем его опасения оправдались: впервые это свойство нарушается для 23-х степеней.