Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Общий вывод таков: натуральное число представляет собой сумму двух квадратов в том, и только том случае, если все простые множители вида 4k + 3 появляются в нем в четных степенях при разложении числа на простые множители. К примеру, 245 = 5 × 7². Множитель 7 имеет вид 4k + 3, но появляется при разложении дважды, то есть входит в число в четной степени; следовательно, 245 представляется в виде суммы двух квадратов. В самом деле, 245 = 14² + 7². Наоборот, 35 = 5 × 7, и множитель 7 появляется здесь лишь однажды, так что 35 не выражается в виде суммы двух квадратов. Этот результат может показаться случайной, ни с чем не связанной диковинкой, но именно от него взяли начало несколько линий исследований, приведшие в конечном итоге к созданию масштабной теории квадратичных форм Гаусса (глава 10). В наше время эту линию рассуждений провели намного дальше. Родственная теорема, доказанная Лагранжем, утверждает, что любое натуральное число представляет собой сумму четырех квадратов (квадрат 0 = 0² разрешен). Это утверждение тоже имеет важные и обширные следствия.

* * *

История Великой теоремы Ферма рассказана многократно и рассказывается по сей день, но я не стану извиняться за то, что расскажу ее еще раз. Это замечательная история. То, что слава Ферма зиждется на теореме, которую он почти наверняка не доказал, можно назвать иронией судьбы. Он заявил, что нашел доказательство, и сегодня мы знаем, что теорема действительно верна, но вердикт истории состоит в том, что методами, доступными ему в то время, доказать ее невозможно. Его утверждение о том, что доказательство найдено, существовало лишь в виде рукописного замечания на полях книги, которая к тому же не уцелела и до нас не дошла; вполне возможно, что оно было сделано преждевременно. В математических исследованиях нередко случается, что, проснувшись поутру, человек уверен, что доказал во сне что-то важное, но к полудню, когда автор находит ошибку, это доказательство испаряется.

Книга, о которой идет речь, – французский перевод «Арифметики» Диофанта, первой значительной работы по теории чисел, если не считать «Начал» Евклида, где изложены многие базовые свойства простых чисел и решены некоторые важные уравнения. В любом случае «Арифметика» – первый специализированный труд на эту тему. Не забывайте, что именно эта книга ввела в математику технический термин «диофантово уравнение» для обозначения полиномиального уравнения, которое следует решать в натуральных или рациональных числах. Диофант составил систематический каталог таких уравнений, и один из центральных образцов его коллекции – уравнение x² + y² = z² для пифагоровых троек, называемых так потому, что треугольник со сторонами x, y и z, по теореме Пифагора, будет прямоугольным. Простейшее решение этого уравнения в ненулевых целых числах – это 3² + 4² = 5², знаменитый треугольник со сторонами 3–4–5. Вообще, решений бесконечное множество: Евклид привел процедуру, позволяющую найти их все; Диофант включил этот метод в свою книгу.

У Ферма имелся экземпляр перевода «Арифметики» на латинский язык, сделанного Клодом Баше де Мезирьяком в 1621 г., и свои замечания к тексту он записывал на полях. По словам сына Ферма Самюэля, Великая теорема была сформулирована как замечание к Вопросу VIII Книги II у Диофанта. Мы знаем об этом потому, что Самюэль издал собственный вариант «Арифметики», включив туда и примечания отца. Даты, когда делались примечания, неизвестны, но известно, что Ферма начал изучать «Арифметику» около 1630 г. Часто приводится дата 1637 г., но это лишь интуитивная оценка. Предполагается, что именно после размышлений о потенциальных обобщениях Пифагоровых треугольников Ферма и написал свою знаменитую маргиналию:

Невозможно поделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых степени, или, в общем, любую степень выше второй на две такие же степени. Я нашел поистине чудесное доказательство этого, но здешние поля слишком узки, чтобы вместить его.

То есть диофантово уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет целых решений, если n – целое число, большее или равное трем.