Читаем Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков полностью

Я подозреваю, что Гёдель углядел в этом мероприятии что-то сомнительное с философской точки зрения. По существу, от аксиоматической системы математической логики требовалось продемонстрировать свою собственную непротиворечивость. «Непротиворечивы ли вы?» – «Разумеется, да!» Пауза. «Ну да, ну да… Почему я должен вам верить?» Как бы то ни было, скепсис, из какого бы источника он ни проистекал, заставил его доказать два потрясающих результата, названные его именем: теорему о неполноте и теорему о непротиворечивости.

Вторая из них опирается на первую. Имея в виду, что противоречивая логическая система способна доказать что угодно, можно сделать вывод, что она, вероятно, способна доказать и утверждение «эта система непротиворечива». (Разумеется, она может с тем же успехом доказать утверждение «эта система противоречива», но забудем об этом.) Итак, какую гарантию истинности может предложить подобное доказательство? Никакой. Именно это интуитивное понимание отражено в ответе «ну да, ну да…». У программы Гильберта может быть единственный способ избежать этой ловушки: возможно, утверждение «эта система непротиворечива» не имеет смысла в пределах формальной аксиоматической системы. Безусловно, это утверждение не слишком похоже на арифметику.

Ответом Гёделя было превратить его в арифметику. Любая формальная математическая система построена из символов, и доказательство (или предполагаемое доказательство) некоторого утверждения представляет собой всего лишь строку символов. Символам могут быть присвоены кодовые номера, и строке символов тоже может быть присвоен уникальный численный код. Предложенный Гёделем способ нумерации состоит в том, чтобы превратить строку кодовых чисел abcdef… в единственное число, определяемое перемножением степеней простых чисел:

2a3b5c7d11e13f

Чтобы расшифровать это число и превратить его обратно в строку, нужно воспользоваться единственностью разложения на простые множители.

Существуют и другие способы зашифровать символьную строку превращением ее в число: данный способ математически элегантен и притом совершенно непрактичен. Но Гёделю достаточно было того, что он существует.

В виде чисел он предлагал кодировать не только утверждения, но и доказательства, которые представляют собой некоторую последовательность утверждений. Логические правила вывода каждого утверждения из предыдущих накладывают ограничения на то, какие из этих чисел могут соответствовать логически верному доказательству. Так что утверждение «P есть верное доказательство утверждения S» само может рассматриваться как утверждение в арифметике: «Если расшифровать P в последовательность чисел, то последним из них будет число, соответствующее S». Гёделева система нумерации позволяет нам перейти от метаматематического утверждения о существовании некоторого доказательства к арифметическому утверждению о соответствующих числах.

Гёдель хотел проделать этот фокус с фразой «это утверждение ложно». Он не мог сделать это напрямую, поскольку это не арифметическое утверждение. Но его можно сделать арифметическим при помощи Гёделевых чисел, и тогда оно по существу превращается в утверждение «эта теорема не имеет доказательства». Есть еще кое-какие технические фокусы, которые придают всему этому смысл, но описанное выше – самая суть. Предположим, что Гильберт прав и аксиоматическая система арифметики полна. Тогда утверждение «эта теорема не имеет доказательства» либо имеет доказательство, либо нет. В том и другом случае у нас проблемы. Если у него есть доказательство, получаем противоречие. Если доказательства нет, утверждение ложно (мы ведь считаем, что Гильберт прав, помните?), так что доказательство все-таки имеется – еще одно противоречие. Значит, утверждение наше противоречит само себе… а в арифметике имеется теорема, которую невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Гёдель быстро превратил этот результат в свою теорему о непротиворечивости: если некоторое аксиоматическое описание арифметики непротиворечиво, то доказать его непротиворечивость невозможно. Это тот самый момент «ну да, ну да…» во всей его формальной красе: если бы в один прекрасный момент кто-нибудь нашел вдруг доказательство того, что арифметика непротиворечива, то мы могли бы сразу же сделать вывод о том, что на самом деле это не так.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Траектория»

Братья Райт. Люди, которые научили мир летать
Братья Райт. Люди, которые научили мир летать

В начале XX века человечество охватила «летная лихорадка» – страстное стремление воплотить, наконец, в жизнь многовековую мечту об управляемом полете. Правительства США и стран Европы тратили огромные суммы на программы по созданию первого летательного аппарата с мотором. А в это время в небольшом американском городке в штате Огайо два сына местного епископа на собственные небольшие средства строили свою летающую машину. История о том, как скромные владельцы велосипедной мастерской, не окончившие даже колледжа, сконструировали и испытали первый в мире управляемый самолет, рассказанная лауреатом Пулитцеровской премии, обладателем Национальной книжной премии США Дэвидом Маккаллоу.Орвилл и Уилбур Райт заинтересовались полетами после знакомства с детской французской игрушкой, похожей на «вертолет» с двумя пропеллерами и резиновой лентой. Любопытство, пытливость ума, чтение книг и страсть к полетам помогли братьям Райт сконструировать первый управляемый самолет.Из книги, полной биографических и исторических подробностей, читатель узнает, как братья Райт наблюдали за птицами и почему этот опыт оказался необходимым при испытании первых планеров в неприметном Китти Хок на Внешних отмелях, как неудачи только подтолкнули к окончательной решимости летать и как четыре полета на «Флайере» в декабре 1903 года изменили ход истории человечества.

Дэвид Маккаллоу

Публицистика
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации

Невероятно компактный рассказ геофизика Дэвида Берковичи о том, как все везде появилось: звезды и галактики, атмосфера Земли, океаны, клетка и, наконец, человеческие цивилизации, написан трепетно и талантливо. Сочетая юмор и безупречную научную канву, Берковичи с головокружительной скоростью проводит нас сквозь пространство и время – почти 14 млрд лет, показывая при этом связи между теориями, помогающие понимать такие темы, как физика частиц, тектоника плит и фотосинтез. Уникальный эксперимент Берковичи в равной мере впечатляет научной убедительностью и литературным мастерством и станет незабываемым опытом знакомства с вопросами космологии, геологии, климатологии, человеческой эволюции как для искушенного читателя, так и для новичка.

Дэвид Берковичи

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Зарубежная образовательная литература / Образование и наука
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию

Эта книга посвящена космологии – науке, недавно отпраздновавшей свое столетие. Она объясняет, почему мы уверены, что у Вселенной есть начало, где и когда произошел Большой взрыв, что означает разбегание галактик, как образовалось все, что нас окружает, от атомов до галактик, каково будущее Вселенной, существуют ли миры с другими физическими законами, что такое черные дыры и многое другое. Подробно рассказывается про то, что нам известно и что неизвестно про две таинственные сущности, которые вместе составляют более 95 % содержимого Вселенной – темную материю и темную энергию. Кроме того, показаны физические основы общей теории относительности и предсказанные ею эффекты.Книга ориентирована на широкий круг читателей, но некоторые ее разделы, в которых излагаются элементы нерелятивисткой космологии, требуют знания математики на уровне начальных курсов университета. Эту часть можно рассматривать как своеобразный учебник, в котором основные космологические решения получены без использования математического аппарата общей теории относительности.

Сергей Л. Парновский

Астрономия и Космос / Прочая научная литература / Образование и наука

Похожие книги

Адмирал Советского Союза
Адмирал Советского Союза

Николай Герасимович Кузнецов – адмирал Флота Советского Союза, один из тех, кому мы обязаны победой в Великой Отечественной войне. В 1939 г., по личному указанию Сталина, 34-летний Кузнецов был назначен народным комиссаром ВМФ СССР. Во время войны он входил в Ставку Верховного Главнокомандования, оперативно и энергично руководил флотом. За свои выдающиеся заслуги Н.Г. Кузнецов получил высшее воинское звание на флоте и стал Героем Советского Союза.В своей книге Н.Г. Кузнецов рассказывает о своем боевом пути начиная от Гражданской войны в Испании до окончательного разгрома гитлеровской Германии и поражения милитаристской Японии. Оборона Ханко, Либавы, Таллина, Одессы, Севастополя, Москвы, Ленинграда, Сталинграда, крупнейшие операции флотов на Севере, Балтике и Черном море – все это есть в книге легендарного советского адмирала. Кроме того, он вспоминает о своих встречах с высшими государственными, партийными и военными руководителями СССР, рассказывает о методах и стиле работы И.В. Сталина, Г.К. Жукова и многих других известных деятелей своего времени.Воспоминания впервые выходят в полном виде, ранее они никогда не издавались под одной обложкой.

Николай Герасимович Кузнецов

Биографии и Мемуары
100 великих гениев
100 великих гениев

Существует много определений гениальности. Например, Ньютон полагал, что гениальность – это терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении. Гёте считал, что отличительная черта гениальности – умение духа распознать, что ему на пользу. Кант говорил, что гениальность – это талант изобретения того, чему нельзя научиться. То есть гению дано открыть нечто неведомое. Автор книги Р.К. Баландин попытался дать свое определение гениальности и составить свой рассказ о наиболее прославленных гениях человечества.Принцип классификации в книге простой – персоналии располагаются по роду занятий (особо выделены универсальные гении). Автор рассматривает достижения великих созидателей, прежде всего, в сфере религии, философии, искусства, литературы и науки, то есть в тех областях духа, где наиболее полно проявились их творческие способности. Раздел «Неведомый гений» призван показать, как много замечательных творцов остаются безымянными и как мало нам известно о них.

Рудольф Константинович Баландин

Биографии и Мемуары
100 великих интриг
100 великих интриг

Нередко политические интриги становятся главными двигателями истории. Заговоры, покушения, провокации, аресты, казни, бунты и военные перевороты – все эти события могут составлять только часть одной, хитро спланированной, интриги, начинавшейся с короткой записки, вовремя произнесенной фразы или многозначительного молчания во время важной беседы царствующих особ и закончившейся грандиозным сломом целой эпохи.Суд над Сократом, заговор Катилины, Цезарь и Клеопатра, интриги Мессалины, мрачная слава Старца Горы, заговор Пацци, Варфоломеевская ночь, убийство Валленштейна, таинственная смерть Людвига Баварского, загадки Нюрнбергского процесса… Об этом и многом другом рассказывает очередная книга серии.

Виктор Николаевич Еремин

Биографии и Мемуары / История / Энциклопедии / Образование и наука / Словари и Энциклопедии