Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Ясно, что любое множество можно разбить на два под множества таким образом, что объединение подмножеств будет совпадать со всем множеством и каждый элемент последнего попадет в одно и только одно из подмножеств. Такое разбиение со времен античности называют дихотомией (буквально: «сечение на две части»). Произведем дихотомию множества всех рациональных чисел так, что в результате получатся два непустых подмножества, находящихся в следующем отношении: каждое число какого-то одного из них меньше любого числа другого. Систему из таких двух подмножеств множества всех рациональных чисел Дедекинд назвал сечением в области рациональных чисел; первое из них образует левый класс, второе — правый класс сечения.

Приведем пример сечения. Левый класс — все отрицательные рациональные числа, правый класс — нуль и все положительные рациональные числа. Очевидно, что мы имеем здесь сечение в дедекиндовом смысле, так как каждое рациональное число войдет либо в первый, либо во второй класс (но не в оба сразу), ни один из классов не пуст, любое отрицательное число меньше нуля и каждого из положительных чисел.

Оказывается, над сечениями можно производить операции. Возьмем два каких-нибудь сечения, например следующие. В первом — его мы обозначим через С1 - левый класс (назовем его А1) образуют все рациональные числа, меньшие единицы, правый (В1) —не меньшие единицы. Во втором сечении (С2) левый класс (А2) образован всеми рациональными числами, меньшими двойки, а правый (В2) остальными рациональными числами. После этого зададим следующее разбиение множества всех рациональных чисел на два подмножества: к первому отнесем все числа, которые могут быть представлены суммой двух слагаемых — числа из множества А1 и числа из множества А2 ко второму — все числа, которые представимы в виде суммы числа из множества В1 и числа из множества В2. Будет ли это разбиение сечением?

Нетрудно видеть, что будет. Оба рассматриваемых подмножества не пусты; поскольку первое слагаемое одной суммы меньше первого слагаемого другой суммы и то же относится ко вторым слагаемым, то и первая сумма меньше второй суммы. Можно показать, что выполнено и требование того, чтобы каждое рациональное число обязательно попадало в какое-то одно, и только одно, из двух подмножеств. Итак, разбиение, построенное указанным способом по двум заданным сечениям, есть тоже сечение. Его называют суммой двух исходных сечений и обозначают С1 + С2. Очевидно, что подобным образом возможно построить сумму любых двух сечений. Аналогично можно получить произведение двух сечений С1 и С2: левый его класс составят произведения сомножителей, взятых из левых классов исходных сечений, а правый — взятых из правых классов (правда, здесь нужно сделать некоторые оговорки, связанные с тем, что произведение отрицательных чисел есть число положительное, но они достаточно просты и для нашего изложения несущественны). В приведенном выше примере сумма сечений оказывается сечением, левый класс которого состоит из рациональных чисел, меньших тройки, а произведение — сечением с левым классом, состоящим из чисел, меньших двойки. Но число 3 есть результат сложения, а число 2—результат умножения чисел 1 и 2. Вообще всегда, когда в каждом из исходных сечений есть либо наибольшее число левого класса, либо наименьшее число правого (пограничное число), сумма сечений также будет иметь пограничное число — сумму пограничных чисел исходных сечений; то же справедливо и в отношении произведения (его пограничное число будет произведением пограничных чисел исходных сечений). Иными словами, сложить или перемножить сечения в этом случае — значит сложить или перемножить их пограничные числа и взять Результата качестве пограничного числа.

Но можно задать такое сечение, у которого пограничного числа не окажется. Вот пример фактического построения такого сечения. Левый его класс составляют положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, число нуль и все отрицательные рациональные числа, а правый — все положительные рациональные числа, квадрат которых больше двух. Такое разбиение является сечением: классы не пусты, каждое число левого класса меньше каждого числа правого класса, всякое рациональное число принадлежит либо левому, либо правому классу.

Последнее условие оказывается выполненным потому, что нет такой дроби (рационального числа) p/q,. где p и q — целые и q отлично от нуля, квадрат которой был бы равен двум (доказательство этого факта, восходящее еще к Пифагору, весьма просто; оно приводится во многих учебниках анализа).

Покажем, что у полученного сечения не существует пограничного числа, то есть, что ни в левом классе нет наибольшего числа, ни в правом классе нет наименьшего.