Загадки и диковинки в мире чисел

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.

Почему 12345 × 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.

21

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.

22

Почему 12345 × 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.

23

В двоичной системе счисления, как мы уже объясняли ранее (см. главу V), все умножения именно такого рода. На этом примере мы наглядно убеждаемся в преимуществах двоичной системы.

24

Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 42857 × 28 = 999999 × 4 = 4000000 -4 = 3999996.

25

Русский перевод (вольный) Жуковского. Эпизод, о котором далее идет речь, описан в главе VIII этой повести.

26

Проходившие алгебру знают, что и число 1 можно рассматривать, как степень 2, именно нулевую.

27

Единицу можно рассматривать как нулевую степень 3 (вообще как нулевую степень каждого числа).

28

Русский разновес: 2 п., 1 п., 20 ф., 10 ф., 5 ф., 3 ф., 2 ф., 1 ф.

29

Например, изящный фокус с «волшебным веером» – отгадывание задуманного числа, если известно, в каких табличках чисел оно находится.

30

Это свойство разности вытекает из «закона остатков», о котором мы упоминали раньше.

31

Нетрудно ввести и поправку на високосные годы.

32

Прием для вычисления числа минут читатель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно.

33

Деля 1904 на 28, мы уже учли, что 1904-й год – високосный; беря же в феврале 29 дней, мы учитываем это обстоятельство второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть.

34

Для наглядности на стр. 140 приложен чертеж такого циферблата.

35

Способов сокращенного вычисления календарных дат существует множество. Я изложил здесь самый простой из известных мне приемов, употребляемый упомянутым выше германским математиком, Ф. Ферролем, прославившимся в последнее время своими поразительно быстрыми устными вычислениями.

36

Тушью, а не чернилами, чтобы возможно было, по миновании надобности, легко смыть точки с циферблата.

37

В книге «Положение человека во вселенной».

38

Например, взаимные расстояния планет измеряются десятками и сотнями миллионов верст; расстояния звезд – миллионами миллионов верст, а число молекул в кубическом сантиметре воздуха – миллионами миллионов миллионов. – Я.П.

39

Отметим для сведения, что в году (астрономическом) 31556926 секунд.

40

До какой степени люди склонны недооценивать величину миллионов, показывает следующий поучительный пример. Тот самый Уоллес, который так предостерегает других от преуменьшения миллиона, заканчивает приведенный выше (стр. 144–145) отрывок таким советом: