Введение в логику и научный метод

При этом следует отметить, что в то время как сложение и умножение целых чисел формально такое же и для дробей, тем не менее, нельзя отрицать и имеющиеся различия. Так, знак «+» в «7 + 5 = 12» и в «½+ ⅓= ⅚», обозначая формальные свойства, общие для обоих случаев, тем не менее, обозначает две различные и отличимые друг от друга операции. Вторая операция гораздо сложнее первой. Их легко спутать, поскольку они обозначаются одним и тем же символом, однако нам также не следует забывать и о том, что один и тот же символ применим к обоим случаям, потому что они обладают общими процедурными элементами.

Позднее были открыты и другие числа, когда было замечено, что некоторые из ранее введенных чисел обладали квадратными корнями, кубическими корнями и т. д., а некоторые нет. Так, пифагорейцы доказали, что диагональ квадрата несоизмерима с его сторонами. В современной записи это означает, что V2 не выразим как отношение двух целых чисел. Однако почему операция по получению корня должна быть допустимой для определенных чисел (например, для 4)? Почему бы не разрешить проведение этой операции надо всеми числами? Следовательно, в интересах непрерывности подхода и общности были открыты иррациональные числа, и их также стали рассматривать как вид чисел.

Почему? Ответ опять же прост: потому что операции с ними обладают такими же формальными свойствами, как и операции с целыми числами и дробями.

Сходные замечания, лишь с некоторыми уточнениями, были сформулированы и для других «видов чисел», с которыми имеет дело современная математика. Отрицательные числа, мнимые числа, кватернионы, трансцендентальные числа, матрицы были также введены в область чисел, поскольку того требовали непрерывность и универсальность подхода. Однако как «числа» они были обозначены потому, что обладали некоторыми абстрактными свойствами с более знакомыми примерами математических сущностей.

Обобщенность рассмотрения, таким образом, является очевидной целью математики. Однако при этом, разумеется, неверно считать, что определение термина «число», применимое, в частности, к кардинальным числам 1, 2, 3 и т. д., было в некотором смысле «расширено» или «обобщено», с тем чтобы применяться к дробным, иррациональным и остальным числам. Видового определения термина «число», относительно которого кардинальные, ординальные, дробные и прочие числа являлись бы лишь отдельными примерами, не существует. Единственный способ дать такое определение – это только в терминах формальных свойств определенных операций. Все эти сущности называются «числами» лишь в силу постоянства и инвариантности этих формальных свойств.

Данное заключение, представляющееся столь очевидным, если его сформулировать, было достигнуто лишь в силу огромных усилий современных философов и математиков. Источником многих заблуждений здесь является частое использование одного и того же символа для обозначения двух существенно разных идей. Так, кардинальное число 2 и дробь 2Л зачастую обозначаются одним символом «2». При этом они обозначают радикально разные идеи. Однако данная опасность, исходящая из математической системы символов, несомненно, перевешивается теми великими преимуществами, которые она предлагает. Она позволяет нам кратко выражать структуру математических суждений и тем самым позволяет нам отмечать точные аналогии, или изоморфизмы, в контекстах, отличающихся друг от друга во всех остальных отношениях.

Глава VIII. Вероятностный вывод

§ 1. Природа вероятностного вывода

В обыденном словоупотреблении термин «вероятность» используется весьма свободно, тогда как в логической теории правильный анализ природы вероятностного вывода – это одна из наиболее обсуждаемых тем. Тем не менее, мы строим планы относительно рождения детей, свадеб, смерти, праздников, коммерческих инициатив, дружбы и образования, опираясь на рациональные основания, весомость которых может рассматриваться как вероятностная, но не окончательная. «Вероятность», как замечал епископ Батлер, «является подлинным проводником по жизни». Поэтому данный вопрос следует рассмотреть более детально. Читателю будет легче, если он вспомнит определение вероятностного (правдоподобного) умозаключения, приведенного в вводной главе. Это определение может служить нитью Ариадны в лабиринте долгих обсуждений. Мы сказали, что вывод (или умозаключение) является вероятностным, если он принадлежит классу аргументов таких, в которых заключения являются истинными с определенной относительной частотой при истинности посылок.

Нижеследующее происшествие случилось в повести Вольтера «Задиг»:

Однажды, когда Задиг прогуливался по опушке рощицы, к нему подбежал евнух царицы, которого сопровождали еще несколько дворцовых служителей. Все они, видимо, находились в сильной тревоге и метались взад и вперед, словно искали потерянную ими драгоценную вещь.

– Молодой человек, – сказал ему первый евнух, – не видели ли вы кобеля царицы?

– То есть суку, а не кобеля, – скромно отвечал Задиг.